Арифметический треугольник

[stivensigal]

У меня младший брат учится в последнем классе, принес интересную математическую загадку.
Пишем первые несколько чисел

1 2 3 4 5

под ними пишем их суммы

3 5 7 9

и так делее

8 12 16

20 28

48

Нужно найти зависимость числа внизу от того, до какого числа выписывали верхний ряд.
Мы с братом долго угадывали и получилось $2^{n-1}\cdot (\frac{n}{2}+\frac{1}{2})$
например для числа 5 будет $2^{5-1}\cdot (\frac{5}{2}+\frac{1}{2})=48$

У меня вопрос. А как можно доказать, что это всегда будет так, неважно до какого числа первый ряд?

[ИСН]

можно по индукции, ну.

[stivensigal]

ИСН в сообщении #427082 писал(а):

можно по индукции, ну.

А без нее?

[sup]

Можно и без индукции, но с биномиальными коэффициентами
$\sum \limits_{k=0}^n (k+1)C_n^k = n2^{n-1}+2^n$

[Руст]

Обозначьте $b_i=a_{i,1}+a_{i,n+1-i}$ сумму крайних элементов i-го ряда.
Если первый ряд арифметическая прогрессия, то последующие так же арифметическая прогрессия, причем каждый раз шаг и сумма крайних увеличивается в два раза. Отсюда получается $S=b_{n-1}=(n+1)*2^{n-2}$.