2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Арифметический треугольник
Сообщение24.03.2011, 16:32 
У меня младший брат учится в последнем классе, принес интересную математическую загадку.
Пишем первые несколько чисел

1 2 3 4 5

под ними пишем их суммы

3 5 7 9

и так делее

8 12 16

20 28

48

Нужно найти зависимость числа внизу от того, до какого числа выписывали верхний ряд.
Мы с братом долго угадывали и получилось $2^{n-1}\cdot (\frac{n}{2}+\frac{1}{2})$
например для числа 5 будет $2^{5-1}\cdot (\frac{5}{2}+\frac{1}{2})=48$

У меня вопрос. А как можно доказать, что это всегда будет так, неважно до какого числа первый ряд?

 
 
 
 
Сообщение24.03.2011, 16:54 
Аватара пользователя
можно по индукции, ну.

 
 
 
 Re:
Сообщение24.03.2011, 16:58 
ИСН в сообщении #427082 писал(а):
можно по индукции, ну.

А без нее?

 
 
 
 
Сообщение24.03.2011, 17:41 
Можно и без индукции, но с биномиальными коэффициентами
$\sum \limits_{k=0}^n (k+1)C_n^k = n2^{n-1}+2^n$

 
 
 
 Re: Арифметический треугольник
Сообщение24.03.2011, 17:49 
Обозначьте $b_i=a_{i,1}+a_{i,n+1-i}$ сумму крайних элементов i-го ряда.
Если первый ряд арифметическая прогрессия, то последующие так же арифметическая прогрессия, причем каждый раз шаг и сумма крайних увеличивается в два раза. Отсюда получается $S=b_{n-1}=(n+1)*2^{n-2}$.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group