Котофеич писал(а):
:evil: Нехорошо смеяться над больными людьми. Это не я сказал.
Потом, без современного нестандартного анализа там вообще нечего
ловить. Пенелопа просто не в курсе работ Кейслера, при виде которых,
простые математики падают в обморок.
ПРОБЛЕМА ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ (MILLENNIUM PRIZE PROBLEM) ДЛЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ – СТОКСА
РАЗРЕШИМА КЛАССИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ
Козачок А.А., Киев, Украина
Сформулированная институтом Клея (Clay Mathematics Institute) шестая проблема тысячелетия ([url]Millennium Problems) о существовании и гладкости решений уравнений Навье–Стокса периодически обсуждалась на многочисленных форумах ([url]http://grani.ru/Society/Science/m.112524.html[/url]). По признанию некоторых комментаторов проблема настолько сложна, что полное изложение ее решения может потребовать до тысячи страниц для математических формул (
http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=4289). Возможно, так оно и получится, если не вникать в особенности вывода уравнений Навье – Стокса и рассматривать их только как сочетание связанных между собой неизвестных функций. И то, что автор официального описания проблемы тысячелетия (Official Problem Description–Charles Fefferman) поставил задачу доказательства всего лишь существования и гладкости решения, а не получение его самого, свидетельствует о предполагаемой необычайной сложности разыскания аналитического решения. Однако оказывается, что уравнения Навье–Стокса можно корректно свести к более простым и хорошо изученным классическим уравнениям математической физики, проблема доказательства существования решений которых уже не актуальна.
Общеизвестные аналогии по поводу физического смысла дивергенции перемещения divu и дивергенции скорости divv позволяют сформулировать еще одну важную аналогию, касающуюся дивергенции ускорения divw. Поскольку divu и divv тождественны бесконечно малой величине и соответственно скорости относительного изменения элементарного объема деформируемой среды, то divw, вероятно, есть величина, тождественная ускорению относительного изменения того же объема. В таком случае для несжимаемой жидкости вполне очевидно, что наряду с условиями divu=0, divv=0 следует принять divw=0.
Условие divw=0 для несжимаемой жидкости сформулировано не только по аналогии, но и доказано. При таком условии и при некоторых ограничениях вектора внешней массовой силы применение операции div преобразует уравнения Навье – Стокса в трехмерное уравнение Лапласа для давления p=p(x,y,z,t), куда время t входит в качестве параметра.
Наложение оператора Лапласа на уравнения Навье – Стокса с учетом, что давление p=p(x,y,z,t) является гармонической функцией, и замена переменной (скорость на ускорение) позволяют получить систему условно расщепленных интегро-дифференциальных уравнений относительно компонент ускорения w. В таком случае компоненты ускорения для идеальной несжимаемой жидкости тоже являются гармоническими функциями. Замена переменной позволяет совершенно корректно воспользоваться граничным условием прилипания жидкости, согласно которому векторы ускорения на твердой неподвижной границе равны нулю.
Из уравнений Навье–Стокса, применив операцию rot, можно получить уравнения распространения вихрей, но по общепринятому мнению свести эти уравнения к традиционному виду удается только для плоского течения. Однако оказывается, что путем дополнительных преобразований уравнения распространения вихрей тоже сводятся к классическому виду. Преобразование уравнений Навье–Стокса к более простым уравнениям фактически отодвинуло проблему доказательства существования и гладкости их решения на задний план. Такое доказательство с учетом того, что одна из искомых переменных является гармонической функцией, можно не выполнять, а просто воспользоваться известными результатами о свойствах гармонических функций или представлением общего решения уравнения Лапласа (
http://a-kozachok1.narod.ru, ссылка «Пособие, ч.1», стр. 58).
Для окончательного завершения проблемы потребовалось показать, что компоненты скорости наряду с давлением тоже являются гладкими функциями. С этой целью оказалось возможным воспользоваться соотношением между давлением и нормальным напряжением на октаэдрических площадках, а также соотношением между напряжениями на главных и произвольно ориентированных площадках. Последующий совместный анализ определяющих соотношений вязкой несжимаемой жидкости и некоторых дополнительных соотношений позволил окончательно установить, при каких условиях компоненты скорости окажутся гладкими функциями координат и времени. Подробнее на сайте
http://a-kozachok1.narod.ru , ссылка «Шестая проблема тысячелетия (Millennium Problems) разрешима классическими методами».
С уважением, Александр Козачок
Когда появиться новая
Там решена намного более простая
