Научный форум dxdy

Immortal Smooth Solution of the Three Space Dimensional Navier-Stokes SystemSat Oct 7, 2006 10:01 pm (PST)
hi all newsflash, slashdot is reporting that this paper may
be a solution to the navier stokes problem, one of
the $1M millenium prize problems

http://arxiv.org/abs/math/0609740

author is penny smith, mathematician

http://comet.lehman.cuny.edu/sormani/others/smith.html

По второй ссылке:

А вот уже и по первой ссылке:
Sun, 8 Oct 2006 15:54:39 GMT:
"This paper is being withdrawn by the author due a serious flaw."

Ну я не говорил, что автор этой работы решил проблему на самом деле. Полное
решение должно занимать как минимум 1000 страниц.

Добавлено спустя 27 минут 23 секунды:


Ничего страшного. Первый блин как всегда... Когда появиться новая
версия, дадим ему наши комментарии.

На самом деле решение задачи существования и единственности решения уравнений Навье-Стокса, выдвинутая прикладниками, сейчас не представляет интереса с точки зрения прикладников как я. Эти уравнения не пригодны 1) при описании течении жидкости в нанотрубках (придётся уменьшить вязкость в тысячи раз), 2) они не пригодны при описании ламинарного течения, когда находимся в области чисел Рейнольдса недалёких от критического значения, 3) они совершенно не пригодны для описания явлений неустойчивостей в вязкой жидкости. В некотором смысле неустойчивость начинается задолго до критического значения числа Рейнольдса в высокочастотной области, просто вначале из-за нелинейности амплитуды максимального роста маленькие. Уравнения Навье-Стокса из-за параболичности урезают неустойчивость в высокочастотной области и неверны для описания волн высокой частоты.

Эти уравнения много для чего непригодны.Например они не учитывают влияние пристеночного трения. Для модифицированных уравнений, задача будет еще сложнее.

Применимость или неприменимость НС к реальному миру иррелевантна.
задача признана важной математическим сообществом.

По поводу Пенелопы.
Она до последней минуты верила, что у нее есть доказательство, лишь с мелкими ошибками; за 10 дней она послала в архив 6 версий.
Интересующимся рекомендую посмотреть дискуссию в
http://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=470
где сама Пенелопа принимает участие, и проследить процесс проявления ошибок. Особенно рекомендую почитать там комментарий Н. Каца, поясняющего, почему доказательство Пенелопы не может быть правильным.

Нехорошо смеяться над больными людьми. Это не я сказал.
Потом, без современного нестандартного анализа там вообще нечего
ловить. Пенелопа просто не в курсе работ Кейслера, при виде которых,
простые математики падают в обморок.

Ссылочку, плease.

Да конечно
http://www.math.wisc.edu/~keisler/recent.html
Если возникнут вопросы, я дам разьяснение, как
результаты Кейслера связаны с существованием гладких решений.

Спасибо, погляжу.

Ну и что Вы можете сказать по этому поводу Там решена намного более простая
задача. Если бы Пенелопа была в курсе, то не стала бы ввязываться в это дело.

ПРОБЛЕМА ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ (MILLENNIUM PRIZE PROBLEM) ДЛЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ – СТОКСА
РАЗРЕШИМА КЛАССИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ

Козачок А.А., Киев, Украина


Сформулированная институтом Клея (Clay Mathematics Institute) шестая проблема тысячелетия ([url]Millennium Problems) о существовании и гладкости решений уравнений Навье–Стокса периодически обсуждалась на многочисленных форумах ([url]http://grani.ru/Society/Science/m.112524.html[/url]). По признанию некоторых комментаторов проблема настолько сложна, что полное изложение ее решения может потребовать до тысячи страниц для математических формул (http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=4289). Возможно, так оно и получится, если не вникать в особенности вывода уравнений Навье – Стокса и рассматривать их только как сочетание связанных между собой неизвестных функций. И то, что автор официального описания проблемы тысячелетия (Official Problem Description–Charles Fefferman) поставил задачу доказательства всего лишь существования и гладкости решения, а не получение его самого, свидетельствует о предполагаемой необычайной сложности разыскания аналитического решения. Однако оказывается, что уравнения Навье–Стокса можно корректно свести к более простым и хорошо изученным классическим уравнениям математической физики, проблема доказательства существования решений которых уже не актуальна.
Общеизвестные аналогии по поводу физического смысла дивергенции перемещения divu и дивергенции скорости divv позволяют сформулировать еще одну важную аналогию, касающуюся дивергенции ускорения divw. Поскольку divu и divv тождественны бесконечно малой величине и соответственно скорости относительного изменения элементарного объема деформируемой среды, то divw, вероятно, есть величина, тождественная ускорению относительного изменения того же объема. В таком случае для несжимаемой жидкости вполне очевидно, что наряду с условиями divu=0, divv=0 следует принять divw=0.
Условие divw=0 для несжимаемой жидкости сформулировано не только по аналогии, но и доказано. При таком условии и при некоторых ограничениях вектора внешней массовой силы применение операции div преобразует уравнения Навье – Стокса в трехмерное уравнение Лапласа для давления p=p(x,y,z,t), куда время t входит в качестве параметра.
Наложение оператора Лапласа на уравнения Навье – Стокса с учетом, что давление p=p(x,y,z,t) является гармонической функцией, и замена переменной (скорость на ускорение) позволяют получить систему условно расщепленных интегро-дифференциальных уравнений относительно компонент ускорения w. В таком случае компоненты ускорения для идеальной несжимаемой жидкости тоже являются гармоническими функциями. Замена переменной позволяет совершенно корректно воспользоваться граничным условием прилипания жидкости, согласно которому векторы ускорения на твердой неподвижной границе равны нулю.
Из уравнений Навье–Стокса, применив операцию rot, можно получить уравнения распространения вихрей, но по общепринятому мнению свести эти уравнения к традиционному виду удается только для плоского течения. Однако оказывается, что путем дополнительных преобразований уравнения распространения вихрей тоже сводятся к классическому виду. Преобразование уравнений Навье–Стокса к более простым уравнениям фактически отодвинуло проблему доказательства существования и гладкости их решения на задний план. Такое доказательство с учетом того, что одна из искомых переменных является гармонической функцией, можно не выполнять, а просто воспользоваться известными результатами о свойствах гармонических функций или представлением общего решения уравнения Лапласа (http://a-kozachok1.narod.ru, ссылка «Пособие, ч.1», стр. 58).
Для окончательного завершения проблемы потребовалось показать, что компоненты скорости наряду с давлением тоже являются гладкими функциями. С этой целью оказалось возможным воспользоваться соотношением между давлением и нормальным напряжением на октаэдрических площадках, а также соотношением между напряжениями на главных и произвольно ориентированных площадках. Последующий совместный анализ определяющих соотношений вязкой несжимаемой жидкости и некоторых дополнительных соотношений позволил окончательно установить, при каких условиях компоненты скорости окажутся гладкими функциями координат и времени. Подробнее на сайте http://a-kozachok1.narod.ru , ссылка «Шестая проблема тысячелетия (Millennium Problems) разрешима классическими методами».

С уважением, Александр Козачок