Ряд , сходимость

[myra_panama]

Padawan в сообщении #415116 писал(а):

А если такой $\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac1{n} \cos(n(x+\ln{\ln n}))$ ?

этот тоже расходиться ...

(Оффтоп)

(ну еще не знаю , но если ($(x+\ln{\ln n}) \approx 2 \pi k $) ... то ...ммм..)

[Руст]

Ряды $\sum_n \frac{\cos (n(x+\ln \ln n))}{a_n}$ сходятся для $a_n=n$ и $a_n=\ln n$, расходится для $\ln\ln n$. Суммировать можно частями для $n$ между $f(k)$ и $f(k+1)$, где с необходимой точностью можно считать $\ln \ln n$ постоянной величиной.

[ewert]

Руст в сообщении #415348 писал(а):

Ряды $\sum_n \frac{\cos (n(x+\ln \ln n))}{a_n}$ сходятся для $a_n=n$ и $a_n=\ln n$

Для $a_n=n$ -- может, и сходится. Но уж для $a_n=\ln n$-то определённо расходится.

[myra_panama]

Руст а вы знаете , что эту задачу я выдел в книге Садовничий там условия задано так:
Доказать , что ряд расходиться при всех x

Цитата:

Ряды $\sum_n \frac{\cos (n(x+\ln \ln n))}{a_n}$ сходятся для $a_n=n$ и $a_n=\ln n$,

это по моему противоречить или что то я не понимаю.....

[Руст]

Немного перепутал с количеством логарифмирования. Эта задача на ппреобразование Абеля для суммы

$$\sum_n a_nb_n, b_n=\cos (nx+n\ln \ln n).$$

Так как выбрав $n_k$, так, чтобы $n_k=[exp(exp(2\pi k-x))]$ и суммировав $b_n$ от $n_k$ до $n_k+\ln n_k$ получим число $O(\ln n_k$, т.е. при $a_n=\frac{1}{\ln n}$ ряд расходится.
Для сходимости необходимо $\lim_n a_n\ln n =0.$
Пусть $a_n=f(n)$, $f(x)$ монотонно убывающая положительная функция. Обозначим, через $B_n=\sum_{k=1}^n b_k$.
Тогда $S_n=a_nB_n+\sum_{k=1}^n B_k(a_k-a_{k+1})$.
Остается оценить $|B_n|$. Для этого оценим количество таких $2^k<n\le 2^{k+1}$ для которых
$z<\{\frac{nx+n\ln\ln n}{2\pi}\}<z+\epsilon$. Их количество оценивается величиной $2^k\epsilon +O(k)$ (хорошая равномерность). Соответственно отклонение суммы $b_n$ в этом интервале порядка $k$ и $B_n=O(\ln^2 n)$ (не больше). Это дает, что при $a_n=\frac{1}{\ln^a n}$ сходимость, если $a>2$.

[sup]

Руст. Ваше утверждение весьма правдоподобно, но (не сочтите за придирку) доказательство вызывает вопросы. Для получения оценки $B_n =O(\ln^2 n)$ какую величину Вы выбираете для $\epsilon$? Пусть, например, $\epsilon \sim 1/\ln n$, с тем, чтобы количество интервалов было порядка $\ln n$. Но тогда в каждый интервал попадает много слагаемых и отклонение суммы от "среднего" в таком интервале может быть велико. Если же $\epsilon$ "слишком" мало, то тогда "слишком много интервалов" и сумма всех $O(k)$ станет слишком большой.

[Руст]

Вообще то $B_n=O(\ln^2 n)$ пожалуй неверно. Доказать это сложно, если вообще возможно. Но несложно доказать $B_n=\sqrt n (\ln n)^{5/2}$.
Для этого функцию $g(y)=yx+y\ln \ln y$ разлагаем в ряд Тейлора.
$g'(y)=x+\ln \ln y +\frac{1}{\ln y}$ и $g''(y)=\frac{1}{y\ln y} -\frac{1}{y\ln^2y}$. Соответственно можно показать что сумма $b_n$ в интервале $(N,N+\sqrt N)$ останется величиной порядка $\ln^{3/2}n$. Правда для этого надо воспользоваться оценками отклонения от равномерности фазы косинуса, примерно как Усольцев. Дальше легко получается требуемая оценка. Конечно возможна сокращения сумм в разных интервалах и эта оценка может быть сильно преувеличенной. Однако, доказать более точные оценки для общего случая нельзя (разве, что можно уменьшить степень логарифма). Поэтому я сейчас сомневаюсь, что для $g(y)$ выполняется существенно меньшая оценка для l$B_n$(по сравнению с общей).

[sup]

"Лучше" $B_n \sim \sqrt n$ оценку получить невозможно. В Ваших обозначениях $g(n+k)=g(n)+k(x+\ln \ln n +1/\ln n)+O(k^2/n\ln n)$
Пусть $x+\ln \ln n +1/\ln n = 2 \pi l +O(1/n \ln n)$. Такие $n$ существуют для любого достаточно большого $l$. Тогда $g(n+k)=g(n)+2\pi kl +O(k^2/n\ln n)$, отсюда
$ |B_{n+K} - B_n| = \left | \sum \limits_{k=1}^{K}\cos (g(n+k)) \right | = K\cos (g(n)) + O(K^3/n \ln n)+ O(K^5/n^2 \ln^2 n)$
Полагая $K \sim \sqrt n$, после некоторой возни с оценкой $cos (g(n))$, думаю, можно получить нужную оценку снизу.

[Руст]

Я как раз пытаюсь доказать, что для гладких функций общего положения (не очень хорошо приближаемых линейными) всегда существуют (бесконечно много N), что $B_N>c\sqrt N$.
В то же время для них верна и оценка сверху $B_n=O(\sqrt n (ln n)^a).$
Чтобы не менять функцию я беру фиксированную непрерывно дифференцируемую функцию $f(x)\in C^1[0,1]$ и рассматриваю суммы

$$\sum_{0<\le kh<1}e^{2\pi i f(kh)/h}.$$

Тогда фиксированная нелинейность расстягивается при $h\to 0$ (при стремлении к нулю шага сетки).
Степени $\ln n$ в оценках похоже появляются из-за точек перевала $f''=0$, которые не устраняются при растяжении.