Пожалуйста,помогите решить предел от двух переменных

[Фантом]

Legioner93 в сообщении #411632 писал(а):

Так что предела нет.

Кстати, этот результат, возможно, более очевидным образом следует из такой простой идеи. Если предел существует, то он будет одинаковым при любой непрерывной зависимости $y=f(x)$, если $f(0)=0$ (поскольку, грубо говоря, все равно, по какой траектории мы движемся к точке $(0,0)$.

Ну и дальше можно рассмотреть, например, $y=x$ и $y=\sqrt{x}$. В первом случае получится 2, во втором - 0.

[Legioner93]

Фантом в сообщении #411644 писал(а):

Ну и дальше можно рассмотреть, например, $y=x$ и $y=\sqrt{x}$. В первом случае получится 2

Нет, там тоже ноль. Однако вы правы, надо показать, что по всем-всем траекториям предел будет ноль. И вот контрпример: луч $Ox$ или $Oy$

[Sasha2]

Насчет проколотой окрестности, это Вы просто слишком формально подходите в духе функций одного переменного.
Кто Вам в данном случае мешает точно также проколоть эту окрестность, только выколов из нее не одну точку (0,0), а две оси координат.

Далее, что касается этих якобы траекторий, то опять же здесь Вы просто делаете ошибку, смешивая задачу доопределения этой функции с задачей отыскания ее предела в точке (0, 0). Я бы Вам посоветовал не пытаться доопределять жту функцию. Это все равно, что доопределять функцию $\sin \frac{1}{x}$ в нуле, а из этого путного ничего не вышло, во всяком случае до сих пор.

Ну и вообще пусть нас более опытные товарищи с этого форума рассудят.

[Legioner93]

Ничего я не смешиваю. Вот вам строгое определение "Пусть функция $f(x)$ определена в проколотой окрестности $\dot{U}_{x^0}$ точки $x^{0}$ метрического пространства $X$. Говорят, что число $A$ есть предел функции $f(x)$ при $x \to x^0$, если $\forall \varepsilon>0$ $\exists \delta >0 : \forall x \in \dot{U}_{x^0}: ||x-x^{0}||<\delta \Longrightarrow ||f(x)-A||<\varepsilon$."
Обратите внимание на самую первую фразу.
А почему это я должен их (оси) выкалывать? Мотив выкалывания самой точки предельно ясен и много раз повторялся и на этом форуме: нас не интересует значение функции в самой точке. Мотив выкалывания же каких-то там осей мне не ясен.

[Sasha2]

Все верно, но только, кто Вам сказал, что данная функция определена в координатных осях.
Вы ведь при построении своих последовательностей берете для них значения ВНЕ ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИ/Я ФУНКЦИИ. Отсюда и ошибка.

[Legioner93]

Sasha2 в сообщении #411659 писал(а):

кто Вам сказал, что данная функция определена в координатных осях.

Опять за рыбу деньги. Всем тут ясно, что на осях функция не определена. Нечего это обсуждать. Разница в том, что я утверждаю, что это существенно влияет на предел функции в точке и делает его несуществующим, а вы утверждаете, что на оси можно забить.

[Sasha2]

Да и еще сдается мне, что Вы не совсем правильно определение предела написали, забыв пересечь Вашу проколотую окрестность с областью определения функции.
Может отсюда уши от Вашей ошибки растут?

Отсюда кстати и мотив, Вы ищите предел непонятно какой функции.
Или выкалывайте оси, или занимайтесь доопределением на осях, а покуда Вы этого не сделали, брать на них точки просто нельзя.

[Legioner93]

Давайте так. Вот вам одномерный анализ. Пусть функция $f(x)$ определена так: равна 0, если x - рациональное; неопределена, если x - иррациональное. Чему равен её предел в точке 0 (к примеру)? Тоже скажете, что 0? А ведь задача та же самая.

Sasha2 в сообщении #411662 писал(а):

Да и еще сдается мне, что Вы не совсем правильно определение предела написали, забыв пересеь Вашу проколотую окрестность с областью определения функции.

Вы не согласны с определением предела функции, данным мной?

[Sasha2]

Нет не согласен, поскольку оно ошибочно уже даже в случае функций одной переменной.
Уж такие вещи знают даже студенты рыбных институтов.

[Legioner93]

Довольно. Если вы считаете МФТИ рыбным институтом (а определение я списал слово в слово с нашего учебника), то это ваше сугубо лично дело. Но давайте говорить по существу. Хотите поговорить об определениях? Я готов выслушать конкретную критику приведенного мной. Каким оно должно быть? Давайте уж для одномерного случая, чего там.

[Sasha2]

Да бросьте Вы, какое хамство. Я Вас даже и не думал оскорблять. Сам частенько это слышал в своой адрес.

Ну а если определений хотите, что ж, откройте, например Зорича, и посмотрите, как он пересекает окрестности с областями определения функции. Не нравится Зорич, возьмите Камынина, тоже самое. Ну я ладно, черт со мной, но они то авторитеты.

А Ваше определение просто тоже самое только снабдите Вашу проколотую окрестность нижним индексом, каковым является символ области определения функции.

И еще раз, если я Вас обидел, Вы уж извините меня великодушно, право слово ничего личного не имел ввиду.

Вообще лучше простто разобраться в мтом, что означает выражение: "переменная $x$ стремится к числу $a$ по множеству $E$ "

[Legioner93]

Т.е. вы полагаете необязательным существование некоторой проколотой окрестности точки, целиком принадлежащей $D(f)$? Ваше определение мне понятно, но принимать я его не буду. Не вижу, чем оно лучше моего. По вашему и у функции "$z(x,y)=x$, если $y=x$ и не определенной, если $y \ne x$" нулевой предел в $(0,0)$. Стремление же по множеству (базе множеств) тут ни при чем, ведь подразумевается стремление по $\mathbb{R}^2$. И предела у функции ТС нет, я считаю.

[Sasha2]

Это не я полагаю, а люди, которые разбираются в математике неимоверно лучше чем я.
Что же касается Вашего примера, то Вы зря так уж выбирали такой (на Ваш взгляд изощренный пример). Поскольку если функция имеет по некоторой базе предел, то она будет иметь точно такой же предел и по любой ее подбазе. Грубо говоря, если функция имеет предел в точке a по множеству ыыещественных чисел, то точно такой же предел у нее будет и по множеству рациональных чисел. Т Ваш якобы контрпример, ничего тут не вносит существенного. Удаляя точки побобным образом все равно, как была база, так она и останется. Чего тут упорствовать то?

Стремление по базе как раз причем.
Я Вам еще раз повторю, что все авторы всех подобных определений при построении своих предельных конструкций никогда не допускают, чтобы последовательности или окрестности, которые они используют содержали бы точки, не принадлежащие области определения функции. А так Вы берете для аргумента те значения, в которых функция не определена. Ну самому то не удивительно?

Или доопределяйте функцию (но тогда эта будет уже другая функция) или действуйте в рамках правильного определения.

[Ales]

А есть ли у этой задачи смысл?

[Legioner93]

Могу вас заверить, что определение предела, написанное мной, тоже сочинил не я, а очень уважаемые люди. И я привел его дословно. Понимаете? Дословно. Почему же ваше определение, которые вы не удосужились привести, правильное, а моё - нет? Приведите уж наконец конкретное определение. Из Зорича или откуда хотите. Я вам привел своё. Если окажется, что они действительно различны и это влияет на ответ задачи, то спор считаю завершенным. А пока лишь я вижу переливание из пустого в порожнее и утверждения не глубже "вы не знаете, что на ноль делить нельзя и отсюда ваши ошибки".