Линейное векторное пространство.

[maxmatem]

zero-phase
Давайте от слов к делу.
Выпишите все аксиомы линейного пространства, которые вы собираетесь проверять(т.е выпишите определение.). Как выпишите, так и будем поочерёдно их проверять.

[zero-phase]

Хорошо.

$1) x \oplus y = y \oplus x$ - коммутативность
$2) (x \oplus y) \oplus z = x \oplus (y \oplus z) $ - ассоциативность
$3) \exists \theta: x \oplus \theta = x $
$4) \exists (-x): x \oplus (-x) = \theta $
$5) \alpha \otimes (x \oplus y) = (\alpha \otimes x) \oplus (\alpha \otimes) y$
$6) (\alpha + \beta) \otimes x = (\alpha \otimes x)+(\beta \otimes x)$
$7) \exists 1: 1 \otimes x = x$
$8) (\alpha \beta) \otimes x = \alpha \otimes (\beta \otimes x)$

[maxmatem]

ну поехали! проверяйте первую аксиому!

-- Ср янв 05, 2011 21:10:08 --

zero-phase

(Оффтоп)

Что такая трудная аксиома?

[zero-phase]

Постой, мне неясно, как проверять эти аксиомы В условиях даны два равенства. И что? Куда и что мне подставлять?

[ewert]

Перепишите каждое из Ваших абстрактных равенств на обычном языке, используя формальные определения Ваших операций. И посмотрите, выполняются ли эти равенства всегда или нет.

[Padawan]

zero-phase в сообщении #395717 писал(а):

bot в сообщении #395659 писал(а):

Про показатель линейного пространства Вы где вычитали?

Имел ввиду, является ли пространство линейным или нелинейным.

Линейное пространство -- это цельный термин, его не надо дробить на два слова.

[Ales]

zero-phase в сообщении #395111 писал(а):

Здравствуйте. Задача такова - нужно выяснить, являются ли некие элементы - ЛВП.

$x,y \in R$
$1) x \oplus y = xy$
$2) \alpha \otimes x = x^\alpha $

Являются ли элементы 1 и 2 - линейными векторными пространствами? От себя добавлю, что я в этой линейной алгебре - полный пень. Темный лес для меня это... Может быть, если кто разъяснит важнейшие аспекты линейной алгебры - и мне всё сразу станет понятно. Единственное, что мне ясно, так это то, что тут есть связь между векторами и матрицами. Но в конкретном примере я здесь не наблюдаю ни матриц, ни векторов.

А как насчет того, чтобы применить логарифм?
И работать с логарифмами чисел.

-- Чт янв 06, 2011 15:24:10 --

Главное в линейных пространствах это то, что вектора можно складывать и умножать на число.
Представляйте все на плоскости и будет ок.
Все линейные пространства одинаковы, отличаются только числом измерений: прямая, плоскость, пространство 3, 4, 5, ... измерений, все вектора откладываются от нуля - начала координат.

[zero-phase]

(Оффтоп)

Padawan, простите меня за мою математическую безграмотность. Хотел сказать, является ли ЛВП или не является. вот так.

Пусть $x,y \in R$, где R - это всё таки область действительных чисел, а $\alpha, \beta \in Z$ - целые числа.
Аксиома 1 и аксиома 2 выполняются для любых $x,y \in R$
$x \oplus y = xy = y \oplus x = yx$
$(x \oplus y) \oplus z = (xy)z = x \oplus (y \oplus z) = x(yz)$
Аксиома 3 не выполняется, т.к. $x \oplus \theta = x^\theta = 1 \ne x$, где $\theta$ - нулевой элемент (и если я правильно понимаю, в области R - это просто нуль.)
Аксиома 4 не выполняется, т.к. $x \oplus (-x) = -x^2 \ne 0$
Аксиома 5 выполняется для любых $x,y \in R$ и $\alpha \in Z$.
$\alpha \otimes (x \oplus y) = (xy)^\alpha = (\alpha \otimes x) \oplus (\alpha \otimes y) = x^\alpha y^\alpha$
Аксиома 6 не выполняется.
$(\alpha + \beta) \otimes x = x^\alpha x^\beta \ne \alpha \otimes x + \beta \otimes x$
Аксиома 7 выполняется: $1 \otimes x = x^1 = x$
Аксиома 8 выполняется: $(\alpha \beta) \otimes x = (x^\alpha)^\beta = \alpha \otimes (\beta \otimes x)$

Можно сделать вывод, что $ \forall x,y \in R$ не могут образовать линейное вектроное пространство, т.к. не удовлетворяют трём аксиомам.
Поправьте, если я ошибся где-то.

-- Чт янв 06, 2011 17:34:01 --

Внесу поправку - в первом посте я всё сформулировал неправильно! Равенства 1 и 2 - это как само собой разумеющиеся) Мне нужно было выяснить, могут ли образовывать любые x и y из области R действительных чисел линейное векторное пространство.

[Lazy]

ИМХО, тут ни к чему городить огород. Первые четыре аксиомы очевидны уже из того, что $R$ является коммутативной группой по умножению. Из школьных правил арифметики очевидно, что:

1) $xy = yx$ - коммутативность доказана
2) $(xy)z = x(yz)$ - ассоциативность доказана
3) $\exists \theta: \theta x = x$ - такое $\theta$, разумеется, существует и равно в нашем случае 1. Существование единицы доказано.
4) $\exists (x^{-1}): x x^{-1} = \theta$ - конечно же в $R$ выполняется тождество $x * 1/x = 1$. Существование обратного элемента доказано.

Действуйте дальше в том же направлении. Это действительно несложная алгебра.

[zero-phase]

Lazy, хорошо, с 3 и 4 аксиомами я ошибся, но я ошибся еще и с 6 аксиомой - она выполняется. Пардон. Но по поводу третьей аксиомы есть вопрос - получается, что $\theta$ это у нас единица? А написано, что нулевой элемент. Неясность присутствует. Пожалуйста, разъясните этот момент и скажите, наконец, образуют ли ЛВП? :)

[Lazy]

Никакой неясности нет. Дело в том, что это просто термины теории групп.

Например, единичным элементом ($e$) группы называется такой элемент, что: $ea = a$.

У Вас в аксиомах указано, что "существует такое тэта...". Вовсе не обязательно, чтобы он был нулем или вообще числом. Например в группе вращений геометрической фигуры единицей будет поворот на угол, кратный $2\pi$, в группе перестановок - единичная перестановка, оставляющая все элементы на своих местах и т.д.

Обратным элементом ($a^{-1}$) для элемента $a$ называется такой, что: $a * a^{-1} = e$. Где $*$ - некоторая бинарная операция (не обязательно именно арифметическое умножение!) и $a^{-1}$ - просто обозначение (не обязательно именно минус первая степень!).

И все. Никаких неясностей!

Первые четыре аксиомы очевидны. Осталось доказать:
5) Ассоциативность умножения на скаляр. В нашем случае она также очевидна:
$(x^{\alpha})^{\beta} = (x^{\beta})^{\alpha}$
6) Умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля не меняет вектор. Это, конечно, выполняется, так как:
$x^1 = x$
7) Дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров. Ясно, что:
$x^{\alpha + \beta} = x^{\alpha} * x^{\beta}$
8) Дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов. Также ясно, что:
$(xy)^{\alpha} = x^{\alpha}*y^{\alpha}$

[Ales]

zero-phase в сообщении #395948 писал(а):

Пусть $x,y \in R$, где R - это всё таки область действительных чисел, а $\alpha, \beta \in Z$ - целые числа.

Если Вы рассматриваете действительные числа с операциями умножения и возведения в степень, то:
1. положительные числа образуют линейное пространство, чтобы понять, надо прологарифмировать
2. все числа, включая ноль и отрицательные, не образуют линейное пространство

Обратите внимание, термин линейное пространство имеет смысл только, как линейное пространство над числовым полем.
Целые числа - это не числовое поле. Если ограничиться возведением в целую степень, то это уже не линейное пространство, а только группа по сложению.

-- Чт янв 06, 2011 17:06:42 --

По методологии: если Вы будете воспринимать линейное пространство, как множество с некоторыми аксиомами, Вы никогда не поймете, что это такое и зачем нужно.

[zero-phase]

Всё, всем спасибо! Я достаточно разобрался.
Ales, Ваши последние слова вводят меня в отчаяние - как, если не через примеры, мне понять, что такое линейное пространство?) И как понять "..линейное пространство над числовым полем"? Что это такое - числовое поле. И какой смысл имеет местоименное наречие "над" ? Как это над?! А может "под" ?

[Ales]

zero-phase в сообщении #396227 писал(а):

Всё, всем спасибо! Я достаточно разобрался.
Ales, Ваши последние слова вводят меня в отчаяние - как, если не через примеры, мне понять, что такое линейное пространство?) И как понять "..линейное пространство над числовым полем"? Что это такое - числовое поле. И какой смысл имеет местоименное наречие "над" ? Как это над?! А может "под" ?

"над полем" - так принято говорить.
Числовое поле, примеры:
1. поле рациональных чисел (дробей), оно не удобное, поскольку не полное - например, $\sqrt 2 $ - не рациональное число,
2. поле действительных чисел, полное, но алгебраически не совершенное, нет квадратных корней из отрицательных чисел
3. поле комплексных чисел, самое алгебраически продвинутое - любое алгебраическое уравнение имеет решения.

Обычно линейные векторные пространства рассматривают "над" полем действительных или комплексных чисел.
Вот и все дела. Остальные пространства - экзотика, которая мне (и думаю, что и большинству математиков) не известна.

-- Пт янв 07, 2011 12:29:01 --

Линейные пространства бывают:
1. конечномерные, они изучаются линейной алгеброй, когда есть базис из нескольких векторов $\vec e_1,..., \vec e_n$ и каждый вектор из пространства имеет вид $x_1\vec e_1+...+x_n\vec e_n$ - про них все известно и понятно


2. бесконечномерные, например пространства функций, они изучаются функциональным анализом - это трудный случай


Вы изучаете конечномерные пространства, они все одинаковы - наборы из нескольких чисел и отличаются только числом измерений - длиной набора. Свойства пространств похожи, поэтому чтобы понимать, достаточно разобраться со случаями размерности 1 - вектора на прямой, 2 - вектора на плоскости, 3 - вектора в трехмерном пространстве.

[Ales]

Если коэффициенты в разложении по базису и числа, на которые умножают вектора, действительные, то это пространство над полем действительных чисел.
Если комплексные - пространство над полем комплексных чисел.