Линейные пространства

[caxap]

Проверьте, пожалуйста:

1.1. в) Может ли линейное пространство состоять из 100 элементов?

В лин. пространстве должен быть единственный нулевой вектор, а для каждого ненулевого вектора должен быть обратный. То есть чётное число элементов быть не может. Так?

1.14. В линейном пространстве две системы векторов $b=(b_1,b_2,b_3)$ и $e=(e_1,e_2,e_3)$ заданы своими координатами в некотором базисе: $b_1=(-1,3,-4)^{\mathsf T}$, $b_2=(1,-1,1)^{\mathsf T}$, $b_3=(1,1,-1)^{\mathsf T}$, $e_1=(1,1,1)^{\mathsf T}$, $e_2=(1,0,-1)^{\mathsf T}$, $e_3=(1,1,0)^{\mathsf T}$. Найдите
а) матрицу $U=P_{be}$ перехода от базиса $b$ к $e$;
в) координаты вектора $e_2$ в обоих базисах;
г) координаты вектора $x=-3b_1-5b_2+2b_3$ в базисе $e$.

а) Пусть тот базис, в котором координаты вектора сейчас написаны, будет $g$. Тогде матрица перехода от $g$ к $b$ будет

$$P_{gb}=\begin{pmatrix}-1&1&1\\3&-1&1\\-4&1&-1\end{pmatrix}$$

$P_{ge}$ аналогично. Тогда $P_{be}=P^{-1}_{gb} P_{ge}$. Так?
в) $e_2$ в базисе $e$ равен $(0,1,0)^\mathsf{T}$. В базисе $b$ координаты будут вторым столбцом матрицы $P_{be}$. Так?
г) $b_1$, $b_2$, $b_3$ -- это столбцы матрицы $P_{eb}$. Подставляя их в $-3b_1-5b_2+2b_3$, находим $x$. Так?

(Оффтоп)

P. S. Никто не знает, есть ли ответы (или решебник) к книжке Канатников, Крищенко "Линейная алгебра"?

[Null]

1. элемент может быть сам себе обратным.

[gris]

Не подойдёт ли группа $\mathbb Z_{100}$ над кольцом $\mathbb Z_2$

[Null]

Нет 5+5=10, а не 0.

Там только 2 возможных ответа.

[caxap]

Null в сообщении #392922 писал(а):

1. элемент может быть сам себе обратным.

А... Точно! Тогда, по-моему, 100 элементов быть может. Что-то не могу найти противоречия к аксиомам.
А 2 элемента может быть? По-моему, да: $0$ и элемент $a=-a$. Вроде бы ничего не нарушается.

Ну это ладно, меня больше 2-я задачка интересует. С матрицами всеми этими я запутался совсем...

[Xaositect]

Линейное пространство же над полем, а у полей характеристики простые.

[caxap]

Xaositect, простите, а что такое поле?
(P. S. Это реплика к какой задаче была? Или это к участнику какому-то?)

[Dan B-Yallay]

Поле - это грубо говоря множество с (коммутативным) умножением и сложением, с нейтральным элементом по сложению и с другим нейтральным - по умножению.

Это была реплика к предложению "группа над кольцом". Кольцо тоже множество с умножением\сложением, но присутствие единицы необязательно.

[Null]

а да таких линейных пространств быть не может.

[caxap]

Кажись понял: если элемент равен своему обратному, то $a=-a$, что равносильно $a=0$. А нулевой вектор всего один. То есть чётное число элементов быть не может?

[Dan B-Yallay]

Кажется там больше намекалось на умножение. Поле может быть конечным множеством только если его характеристика - простое число. А простые числа - нечетны.

[Null]

Может: n-мерное пространство $\mathbb{Z}_2^n$ над полем $\mathbb{Z}_2$

[caxap]

Я извиняюсь, но не понял ни слова из последних сообщений. Просто потому, что это задачки после первой главы из учебника по лин. алгебре. Можно ли как-нибудь без привлечения всяких полей, колец и характеристик показать, что 100 элементов в векторном пространстве быть не может (или может).

Я так и не понял, моё рассуждение

caxap в сообщении #392994 писал(а):

Кажись понял: если элемент равен своему обратному, то $a=-a$, что равносильно $a=0$. А нулевой вектор всего один. То есть чётное число элементов быть не может?

верно?

(Оффтоп)

Был бы признателен, если бы участники между собой общались в ЛС или в оффтопе. Просто с увеличением числа сообщений уменьшается вероятность, что кто-то знающий зайдёт в тему и поможет мне с задачами. (В следующий раз буду каждую задачку в отдельную тему сувать.)

[Xaositect]

Так, давайте раберемся.
С элементами линейного пространства какие операции можно производить?

[JMH]

Мне не совсем понятно условие задачи: векторное пр-во состоит из тела скаляров и модуля векторов; какие именно 100 элементов подразумеваются условием: скаляры? вектора? все вместе?