Линейные пространства

[caxap]

Xaositect в сообщении #393006 писал(а):

С элементами линейного пространства какие операции можно производить?

Можно складывать векторы между собой и умножать на числа ($\in\mathbb R$). При этом получаются другие векторы этого пространства. Ещё есть ровно один нулевой вектор. У каждого вектора $a$ есть обратный $-a$ такой, что $a+(-a)=0$. Ну и ещё дистрибутивность, ассоциативность и т. п.

[Xaositect]

caxap в сообщении #393013 писал(а):

Xaositect в сообщении #393006 писал(а):

С элементами линейного пространства какие операции можно производить?

...и умножать на числа ($\in\mathbb R$)...

Вот. Если взять ненулевой вектор и умножать его на разные числа, то сколько разных векторов получится?

PS. Просто в общем определении поля скаляры ("числа") не обязательно $\mathbb{R}$. В частности, м.б. $-a = a$. Поэтому и обсуждение было.

[Joker_vD]

JMH в сообщении #393008 писал(а):

векторное пр-во состоит из тела скаляров и модуля векторов;

Э, вообще-то нет. Векторное пространство — это название модуля над полем. Модуль не включает в себя кольцо, над которым он построен, хотя и содержит изоморфный ему подмодуль.

[caxap]

Xaositect в сообщении #393014 писал(а):

Вот. Если взять ненулевой вектор и умножать его на разные числа, то сколько разных векторов получится?

Сколько угодно. Дошло. То есть конечное число элементов быть не может (ну кроме случая, когда век. пространство состоит только из нулевого вектора). Так?

Xaositect в сообщении #393014 писал(а):

PS. Просто в общем определении поля скаляры ("числа") не обязательно $\mathbb R$

Пока в учебнике только про $\mathbb R$ пишут.

[Xaositect]

caxap в сообщении #393020 писал(а):

Сколько угодно. Дошло. То есть конечное число элементов быть не может (ну кроме случая, когда век. пространство состоит только из нулевого вектора). Так?

Именно так.

-- Вт дек 28, 2010 22:45:21 --

caxap в сообщении #393020 писал(а):

Пока в учебнике только про $\mathbb{R}$ пишут.

Ну, это учебник первого курса. Если будете дальше алгебру изучать - рано или поздно наткнетесь.

[JMH]

Joker_vD в сообщении #393016 писал(а):

Векторное пространство — это название модуля над полем.

Да, извините, Вы правы. Тогда число элементов модуля кратно порядку поля (мне кажется все-таки тела) скаляров. 100 вполне даже кратно некоторым простым...

[Xaositect]

JMH в сообщении #393022 писал(а):

кратно порядку поля

Не кратно, а является степенью. :) Впрочем, мы уже поняли, что этот вопрос здесь не рассматривается.

[Joker_vD]

(здесь была чушь)

[caxap]

Проверьте, пожалуйста ещё это:

Образует ли векторное пространство:
а) множество всех векторов данной плоскости, не парал. данной прямой, относительно лин. операций над векторами.
нет -- сумма двух "симметричных" относительно той прямой векторов в сумме дадут параллельный ей вектор.
б) множество всех векторов плоскости с началом в начале сист. координат, расположенных в правой полуплоскости, относительно обычных операций сложения и умножения векторов.
нет -- не для всех есть обратный вектор.
в) множество кососимметричных матриц 3-го порядка относит. операции сложения матриц и умножения матрицы на число
нет -- то же, не для всех есть обратный элемент.
г) множество функций вида $a\cos t+b\sin t$, $t\in(-\infty,\infty)$, $a,b\in \mathbb R$, отн. обычных операций сложения функций и умножения функции на число.
да. Я проверил аксиомы, вроде все выполняются.

-- 28 дек 2010, 22:55 --

Xaositect в сообщении #393021 писал(а):

Именно так.

Не знаю, к чему Joker_vD там что-то сказал про какой-то $\mathbb Z_{100}$ (уже удалил), но там были знакомые звуки: мы же не обязаны брать операции $+$ и $\cdot$ "обычными". Можем задать, например, $\lambda \cdot x:=x$.

[Mathusic]

caxap в сообщении #393027 писал(а):

в) множество кососимметричных матриц 3-го порядка относит. операции сложения матриц и умножения матрицы на число
нет -- то же, не для всех есть обратный элемент.

Для всех.

(Оффтоп)

Причём пространство матриц разлагается в прямую сумму подпространств симметрических и кососимметрических матриц (за исключением $\operatorname{char}{F}=2$).

[Mathusic]

(Оффтоп)

gris в сообщении #392925 писал(а):

Не подойдёт ли группа $\mathbb Z_{100}$ над кольцом $\mathbb Z_2$

$0=(1+1)7=7+7=14$
Линейные пр-ва конечной мощности суть $\bigotimes\limits_{k=1}^{n}\mathbb{F}_q$

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Mathusic
А что, код Хэмминга уже перестал быть пространством?

[caxap]

Mathusic в сообщении #393095 писал(а):

Для всех.

Да, дошло. Спасибо.

Ну я так и не понял, из 100 элементов л. п. может быть? Функции $(+)$ и $(\,\cdot\,)$ мы задаём сами, какие хотим -- главное, чтобы выполнялись аксиомы. (Извиняюсь за мой пример $\lambda\cdot x=: x$ -- он не удовлетворяет дистрибутивности по числам.)

[mdn]

Из 100 не может. Т. к. количество векторов конечно, то поле над которым рассматривается векторное пространство должно быть конечным. Характеристика поля - простое числа, следовательно количество векторов является степенью простого числа, число 100 таковым не является.

[caxap]

mdn
Ясно. А значит из 2-х элементов быть может? Один элемент 0, а второй что тогда? Ведь ещё должен быть обратный ко второму элементу.

Я уже перестал надеятся, но последний раз спрошу: нельзя ли показать, что 100-элементного л. п. не бывает из элементарных соображений (в задаче пока не подразумевается знание о каких-то полях, кольцах, характеристиках и прочих умных словах)?

-- 29 дек 2010, 10:17 --

Вторая задача всё ещё актуальна.