Дифференциальное уравнение второго порядка

[Gortaur]

Ferd в сообщении #389328 писал(а):

Gortaur

Если я введу такую замену, то что я получу?

Вы получите замечательное уравнение $z'-5z = \sin{5x}$. Его решить просто: сначала однородное, получим решение в виде $z(x) = C e^{...}$ (точки сами посчитайте), затем делаете трюк $z(x) = C(x) e^{...}$ (метод вариации постоянной), подставьте это вместо $z$ в уравнение $z'-5z = \sin{5x}$ и найдете $C(x)$ - будет у Вас общее решение уравнения первого порядка. А так как $z=y'$, то чтобы найти $y$ нужно лишь будет проинтегрировать $z$.

[SpBTimes]

Цитата:

Это число составляется на основе корней хар. многочлена?

нет, это число, составленное на основе функции.
Но верно, что это $0 + 5i$
Теперь. У вас среди корней характер. многочлена есть такой корень?

[Ferd]

Gortaur

А если решать так как предлагает SpBTimes как?

-- 20 дек 2010, 13:14 --

SpBTimes

Нет такого корня...а может я и не прав а есть?

[SpBTimes]

Вы правы, нет такого корня.
Значит решение будет вида?(см. мой коммент. про общий вид)

[Ferd]

SpBTimes

Цитата:

Если корни содержат $a + b*i$ и кратность этого корня t, то решение ищется в виде:
$x^{t}*e^{ax}*(T_{max(n, k)}(x)*sin(bx) + M_{max(n, k)}(x)*cos(bx))$

$y=A\cdot{cos{x}}+B\cdot{sin{x}}$ - думаю, но не знаю точно...

Если я прав, то как объяснить что это действительно так?

[SpBTimes]

Вы хотя бы пытаетесь думать?
Ещё раз прочтите то, что скопировали. И ещё раз подумайте. И ещё раз

[Ferd]

SpBTimes

Виноват, пардон!

Цитата:

если корни характ. многочлена не содержат $a + b*i$, то для данной функции решение будет выглядеть в виде: $e^{ax}*(T_{max(n, k)}(x)*sin(bx) + M_{max(n, k)}(x)*cos(bx))$
где T и M новые многочлены, степень у них - макс. степень из двух предыдущих. Коэф. ищутся, составляя сист. уравнений.

И как?

[SpBTimes]

Ну вот думайте и пишите вид решения

[Ferd]

SpBTimes

А если подставить корни в этот вид?

Это даст вид общего решения для моего?

[SpBTimes]

Забудьте теперь про характ. многочлен, он был нужен только чтобы понять, кратен ли корень. Теперь просто подставляете свои a + bi в этот общий вид и вычисляете полиномы

[Ferd]

SpBTimes

Получим

$e^{ax}*(T_{max(n, k)}(x)*sin(bx) + M_{max(n, k)}(x)*cos(bx)) = e^{0x}*(T_{max(n, k)}(x)*sin(5x) + M_{max(n, k)}(x)*cos(5x))=cos{5x}$

Может и ошибка где, Помогите плиз?

[SpBTimes]

Это не равно $cos(5x)$, но уже большой прогресс.
Верно вот это:
$e^{0x}(T(x)*sin(5x) + M(x)*cos(5x)) = T(x)*sin(5x) + M(x)*cos(5x)$
Теперь. Степень многочлена - максимум из степеней многочленов у функции.
Функция: $f(x) = cos(5x) = 1*x^{0}*cos(5x)$
значит, $deg(M) = deg(T) = 0$

А значит решение будет иметь вид:
$Z(x) = A*sin(5x) + B*cos(5x)$
осталось определить A и B
Подставьте $Z(x)$ в исходное уравнение и определите A и B

[Ferd]

SpBTimes

Прям сразу, а производные искать нужно, исходное же содержит две производные, а как подставить не найдя производные, я не знаю...

[SpBTimes]

Находите конечно же производные

[Ferd]

SpBTimes

$y'=5Acos(5x)-5Bsin(5x)$
$y''=-25Asin(5x)-25Bcos(5x)-25Acos(5x)+25Bsin(5x)$

Не знаю, ошибся...нет?