Дифференциальное уравнение второго порядка

[Gortaur]

Судя по тому, что Вы пытаетесь навертеть со скобками в формуле, мыслите Вы правильно, но вот в сообщениях кошмар какой-то получается. Если хотите написать $e^{5x}$, то код такой

$e^{5x}$

. Не надо столько всего брать в фигурные скобки - это делается лишь в особых случаях, когда целое выражение нужно в индекс запихать или внизу оператора типа $\lim\limits_{x\rightarrow 0}$ или под корень $\sqrt{x+1-y}$.

Теперь по существу - если у Вас иксы все-ж таки в показателях, то
1. либо Вы ищете в теории как можно решить такое уравнение с правой частью, зная общее решение однородного уравнения, либо
2. делаете в исходном уравнении замену $z = y'$ и решаете его забыв про характеристическое уравнение.

[SpBTimes]

Вот, теперь общее решение однородного записано верно.

Решать можно несколькими способами. Метод вариации, или же методом, который подходит для спец. правой части. Проще будет вторым, так как ваш sin(5x) подходит под спец. часть.

Вот и почитайте, как определить вид частного решения, зная правую часть ур-я, корни хар. многослена

[Ferd]

Gortaur

Если я введу такую замену, то что я получу?

Вот именно, что как зная решение однородного в левой части найти решение в правой?

$sin{5x}$ не содержит $y$

Так вот как по внешнему виду правой части найти частное или специальное решение?

Покажите как начать решать хотя бы, а попробую решить, не понятно ничего как?

-- 20 дек 2010, 11:16 --

SpBTimes

Цитата:

Решать можно несколькими способами. Метод вариации, или же методом, который подходит для спец. правой части. Проще будет вторым, так как ваш sin(5x) подходит под спец. часть.

Вот и весь вопрос для меня в том как это понять как?

[SpBTimes]

Спец. часть самого общего вида выглядит так:
$f(x) = e^{ax}*(P_{n}(x)*sin(bx) + Q_{k}(x)*cos(bx))$
n, k - степени полиномов.
таких функций может быть много.
Берём одну из представленных и анализируем

Составляется число $a + b*i$
Теперь.
если корни характ. многочлена не содержат $a + b*i$, то для данной функции решение будет выглядеть в виде: $e^{ax}*(T_{max(n, k)}(x)*sin(bx) + M_{max(n, k)}(x)*cos(bx))$
где T и M новые многочлены, степень у них - макс. степень из двух предыдущих. Коэф. ищутся, составляя сист. уравнений.

Если корни содержат $a + b*i$ и кратность этого корня t, то решение ищется в виде:
$x^{t}*e^{ax}*(T_{max(n, k)}(x)*sin(bx) + M_{max(n, k)}(x)*cos(bx))$

дерзайте

[Ferd]

SpBTimes

У нас $sin{5x}$, комплексная функция, только не понимаю, как установить, $a=0$, а для $b=sin{5i}$

Это верно?

Только не понимаю, как это всё получается как объяснить это, что, то что я записал действительно так?

Общее решение надо выучить на зубок или его составить нужно?

[SpBTimes]

a = 0, b = 5.


Это доказывается на лекции, что решение ищется в таком виде

[Ferd]

SpBTimes

Почему решением неоднородного уравнения будут комплексные корни и почему общее решение - комплексные числа, объясните пожалуйста непонятно?

[SpBTimes]

прочитайте теорию

[Ferd]

SpBTimes

Читал и всё-равно не понимаю, за меня решать не нужно, я сам решу, объясните пожалуйста, то что я спросил, не понимаю?

[SpBTimes]

Решение неоднородного уравнения - функции, какие ещё комплексные корни?
Общее решение опять же функции, никак их комплексных чисел.

А вот корни характеристического многочлена могут быть и комплексные.
От этого функции комплексными не становятся.

Здесь полная аналогия с линейной алгеброй (системы лин. алг. уравнений)

[Ferd]

SpBTimes

Итак, корни однородного получились неравные, общее решение я записал, рассматриваю правую часть.

Какие выводы и какова логика?

Цитата:

Вот и почитайте, как определить вид частного решения, зная правую часть ур-я, корни хар. многослена

Прочитал, но не понял ничего, как это сказать проще?

Знаю, что решение всего этого уравнения = сумме общего однородного и частного неоднородного...

[SpBTimes]

Я вам написал выше, как делать. Что непонятно? Корни хар. многочлена у вас есть, a = 0, b = 5
Всё. Теперь пишите вид частного реш.

[Ferd]

SpBTimes

Вот это и проблема, корни хар. многочлена знаю, правая часть $sin{5x}$ на виду, каков вид частного решения?

[SpBTimes]

1) составьте число $a + b*i$
И ладно бы крокодил какой был, а тут элементарное задание

[Ferd]

SpBTimes

Это число составляется на основе корней хар. многочлена?

Если так, то $0+{5i}$