2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Уравнение (x+m)^3=nx
Сообщение13.12.2010, 12:06 
Докажите, что существует бесконечно много пар взаимно простых натуральных чисел $(m, n)$, при которых уравнение $(x+m)^3=nx$ имеет три различных целых корня.

Одну такую пару я нашла: $(6; 343)$. Действительно, $(1+6)^3=343\cdot1$, $(8+6)^3=343\cdot8$, $(-27+6)^3=343\cdot(-27)$.

Вот ещё пара: $(12; 2197)$. Действительно, $(1+12)^3=2197\cdot1$, $(27+12)^3=2197\cdot27$, $(-64+12)^3=2197\cdot(-64)$.

А вот ещё одна (я троицу люблю): $(20; 9261)$. Действительно, $(1+20)^3=9261\cdot1$, $(64+20)^3=9261\cdot64$, $(-125+20)^3=9261\cdot(-125)$.

Попробую обобщить: для каждого натурального $k>2$ годится пара $((k^2-k); (k^2-k+1)^3)$. Действительно, $(1+k^2-k)^3=(k^2-k+1)^3\cdot1$, $((k-1)^3+k^2-k)^3=(k^2-k+1)^3\cdot(k-1)^3$, $(-k^3+k^2-k)^3=(k^2-k+1)^3\cdot(-k^3)$.

А теперь объясните мне, пожалуйста, почему вот здесь (problem 5) http://www.imc-math.org.uk/imc2006/day2_solutions.pdf такое длинное и страшное решение? Значит, я в чём-то ошиблась?

 
 
 
 Re: Уравнение (x+m)^3=nx
Сообщение13.12.2010, 12:44 
А вроде как правильно! :-) Ну тогда поздравляю ;-)

(Оффтоп)

умножение $a \cdot b$

 
 
 
 Re: Уравнение (x+m)^3=nx
Сообщение13.12.2010, 12:46 
Sonic86 в сообщении #386788 писал(а):
А вроде как правильно! :-) Ну тогда поздравляю ;-)

(Оффтоп)

умножение $a \cdot b$

(Оффтоп)

Ой, простите! Постоянно забываю про точечку в умножении.

 
 
 
 Re: Уравнение (x+m)^3=nx
Сообщение13.12.2010, 12:48 
Возможно авторы решали более общие уравнения такого типа более общим методом... Я его не знаю, не спец, увы.

 
 
 
 Re: Уравнение (x+m)^3=nx
Сообщение13.12.2010, 12:50 
Sonic86 в сообщении #386791 писал(а):
Возможно авторы решали более общие уравнения такого типа более общим методом... Я его не знаю, не спец, увы.

(Оффтоп)

Всё равно спасибо! Жаль, что мы не на Есайенсине ( http://e-science.ru/forum/index.php?showforum=6 ), а то я бы Вам плюсик добавила.


-- Пн дек 13, 2010 13:14:30 --

Sonic86 в сообщении #386788 писал(а):
А вроде как правильно! :-) Ну тогда поздравляю ;-)

(Оффтоп)

умножение $a \cdot b$

А вот на Есайенсине ( http://e-science.ru/forum/index.php?showforum=6 ) мне сказали, что я ошиблась :oops: :oops: :oops:

 
 
 
 Re: Уравнение (x+m)^3=nx
Сообщение13.12.2010, 13:29 
Посмотрел. Вроде они там согласились...
А насчет взаимной простоты я забыл :oops: - но у Вас с этим все в порядке.

 
 
 
 Re: Уравнение (x+m)^3=nx
Сообщение13.12.2010, 13:44 
Аватара пользователя
Xenia1996 в сообщении #386780 писал(а):
А теперь объясните мне, пожалуйста, почему вот здесь (problem 5) http://www.imc-math.org.uk/imc2006/day2_solutions.pdf такое длинное и страшное решение? Значит, я в чём-то ошиблась?
Там расссказано, как получено семейство решений $m=pq(p+q), \; n=(p^2+pq+q^2)^3.$
Вы как-то нашли частный случай при $p=k-1, \; q=1.$

 
 
 
 Re: Уравнение (x+m)^3=nx
Сообщение13.12.2010, 13:50 
TOTAL в сообщении #386810 писал(а):
Xenia1996 в сообщении #386780 писал(а):
А теперь объясните мне, пожалуйста, почему вот здесь (problem 5) http://www.imc-math.org.uk/imc2006/day2_solutions.pdf такое длинное и страшное решение? Значит, я в чём-то ошиблась?
Там расссказано, как получено семейство решений $m=pq(p+q), \; n=(p^2+pq+q^2)^3.$
Вы как-то нашли частный случай при $p=k-1, \; q=1.$

Но ведь для доказательства бесконечности достаточно и этого частного случая? Или принцип Бритвы Оккама уже отменили?

Честно говоря, их решение я не читала (у меня просто терпения бы не хватило, там целая "Война и Мир").

 
 
 
 Re: Уравнение (x+m)^3=nx
Сообщение13.12.2010, 14:00 
Аватара пользователя
Xenia1996 в сообщении #386812 писал(а):
Честно говоря, их решение я не читала (у меня просто терпения бы не хватило, там целая "Война и Мир").
Прочитайте. Там приведены рассуждения, приводящие к решению очень быстро. Не требуется ничего угадывать и подбирать.

 
 
 
 Re: Уравнение (x+m)^3=nx
Сообщение13.12.2010, 14:03 
TOTAL писал(а):
Xenia1996 писал(а):
Честно говоря, их решение я не читала (у меня просто терпения бы не хватило, там целая "Война и Мир").

Прочитайте. Там приведены рассуждения, приводящие к решению очень быстро. Не требуется ничего угадывать и подбирать.

Ага! Можете по ходу чтения подставлять в формулы автора свое решение, раз уж оно частное - это может облегчить Вам понимание.

 
 
 
 Re: Уравнение (x+m)^3=nx
Сообщение13.12.2010, 14:07 
Sonic86 в сообщении #386814 писал(а):
TOTAL писал(а):
Xenia1996 писал(а):
Честно говоря, их решение я не читала (у меня просто терпения бы не хватило, там целая "Война и Мир").

Прочитайте. Там приведены рассуждения, приводящие к решению очень быстро. Не требуется ничего угадывать и подбирать.

Ага! Можете по ходу чтения подставлять в формулы автора свое решение, раз уж оно частное - это может облегчить Вам понимание.

(Оффтоп)

Помните известный анекдот: "Чукча - не читатель, Чукча - писатель!"? :mrgreen: :mrgreen: :mrgreen:

 
 
 
 Re: Уравнение (x+m)^3=nx
Сообщение13.12.2010, 14:49 

(Оффтоп)

Xenia1996 в сообщении #386812 писал(а):
Но ведь для доказательства бесконечности достаточно и этого частного случая? Или принцип Бритвы Оккама уже отменили?
Бритва Оккама, вообще говоря, не отбивает стремление к полному исследованию проблемы :roll:

 
 
 
 Re: Уравнение (x+m)^3=nx
Сообщение13.12.2010, 14:57 
AD в сообщении #386825 писал(а):

(Оффтоп)

Xenia1996 в сообщении #386812 писал(а):
Но ведь для доказательства бесконечности достаточно и этого частного случая? Или принцип Бритвы Оккама уже отменили?
Бритва Оккама, вообще говоря, не отбивает стремление к полному исследованию проблемы :roll:

(Оффтоп)

Абсолютно с Вами согласна. Но обратите, пожалуйста, внимание на другой момент. Если задачу с олимпиады такого уровня удалось решить 14-летней девочке (30 декабря мне исполнится 14), не владеющей высшей математикой, это свидетельствует о "проколе" авторов задачи. По-моему, они просто не додумались до того, что эту же задачу возможно решить на несколько порядков более простым путём.

 
 
 
 Re: Уравнение (x+m)^3=nx
Сообщение13.12.2010, 15:08 
Можно оправдать автором тем, что Вы дали частное решение (и вообще исходя из авторского решения их можно много дать, и, таким образом, охватить множество различных вариантов) + авторы его делают не методом тыка, а по теории (наверное ищут рациональные точки на кривой, хотя не уверен).

 
 
 
 Re: Уравнение (x+m)^3=nx
Сообщение13.12.2010, 15:12 
Аватара пользователя
Xenia1996 в сообщении #386827 писал(а):
По-моему, они просто не додумались до того, что эту же задачу возможно решить на несколько порядков более простым путём.
Их путь не сложнее Вашего. Прочитайте.

 
 
 [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group