Уравнение (x+m)^3=nx

[Xenia1996]

Докажите, что существует бесконечно много пар взаимно простых натуральных чисел $(m, n)$, при которых уравнение $(x+m)^3=nx$ имеет три различных целых корня.

Одну такую пару я нашла: $(6; 343)$. Действительно, $(1+6)^3=343\cdot1$, $(8+6)^3=343\cdot8$, $(-27+6)^3=343\cdot(-27)$.

Вот ещё пара: $(12; 2197)$. Действительно, $(1+12)^3=2197\cdot1$, $(27+12)^3=2197\cdot27$, $(-64+12)^3=2197\cdot(-64)$.

А вот ещё одна (я троицу люблю): $(20; 9261)$. Действительно, $(1+20)^3=9261\cdot1$, $(64+20)^3=9261\cdot64$, $(-125+20)^3=9261\cdot(-125)$.

Попробую обобщить: для каждого натурального $k>2$ годится пара $((k^2-k); (k^2-k+1)^3)$. Действительно, $(1+k^2-k)^3=(k^2-k+1)^3\cdot1$, $((k-1)^3+k^2-k)^3=(k^2-k+1)^3\cdot(k-1)^3$, $(-k^3+k^2-k)^3=(k^2-k+1)^3\cdot(-k^3)$.

А теперь объясните мне, пожалуйста, почему вот здесь (problem 5) http://www.imc-math.org.uk/imc2006/day2_solutions.pdf такое длинное и страшное решение? Значит, я в чём-то ошиблась?

[Sonic86]

А вроде как правильно! Ну тогда поздравляю

(Оффтоп)

умножение $a \cdot b$

[Xenia1996]

Sonic86 в сообщении #386788 писал(а):

А вроде как правильно! Ну тогда поздравляю

(Оффтоп)

умножение $a \cdot b$

(Оффтоп)

Ой, простите! Постоянно забываю про точечку в умножении.

[Sonic86]

Возможно авторы решали более общие уравнения такого типа более общим методом... Я его не знаю, не спец, увы.

[Xenia1996]

Sonic86 в сообщении #386791 писал(а):

Возможно авторы решали более общие уравнения такого типа более общим методом... Я его не знаю, не спец, увы.

(Оффтоп)

Всё равно спасибо! Жаль, что мы не на Есайенсине ( http://e-science.ru/forum/index.php?showforum=6 ), а то я бы Вам плюсик добавила.

-- Пн дек 13, 2010 13:14:30 --

Sonic86 в сообщении #386788 писал(а):

А вроде как правильно! Ну тогда поздравляю

(Оффтоп)

умножение $a \cdot b$

А вот на Есайенсине ( http://e-science.ru/forum/index.php?showforum=6 ) мне сказали, что я ошиблась

[Sonic86]

Посмотрел. Вроде они там согласились...
А насчет взаимной простоты я забыл - но у Вас с этим все в порядке.

[TOTAL]

Xenia1996 в сообщении #386780 писал(а):

А теперь объясните мне, пожалуйста, почему вот здесь (problem 5) http://www.imc-math.org.uk/imc2006/day2_solutions.pdf такое длинное и страшное решение? Значит, я в чём-то ошиблась?

Там расссказано, как получено семейство решений $m=pq(p+q), \; n=(p^2+pq+q^2)^3.$
Вы как-то нашли частный случай при $p=k-1, \; q=1.$

[Xenia1996]

TOTAL в сообщении #386810 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #386780 писал(а):

А теперь объясните мне, пожалуйста, почему вот здесь (problem 5) http://www.imc-math.org.uk/imc2006/day2_solutions.pdf такое длинное и страшное решение? Значит, я в чём-то ошиблась?

Там расссказано, как получено семейство решений $m=pq(p+q), \; n=(p^2+pq+q^2)^3.$
Вы как-то нашли частный случай при $p=k-1, \; q=1.$

Но ведь для доказательства бесконечности достаточно и этого частного случая? Или принцип Бритвы Оккама уже отменили?

Честно говоря, их решение я не читала (у меня просто терпения бы не хватило, там целая "Война и Мир").

[TOTAL]

Xenia1996 в сообщении #386812 писал(а):

Честно говоря, их решение я не читала (у меня просто терпения бы не хватило, там целая "Война и Мир").

Прочитайте. Там приведены рассуждения, приводящие к решению очень быстро. Не требуется ничего угадывать и подбирать.

[Sonic86]

TOTAL писал(а):

Xenia1996 писал(а):

Честно говоря, их решение я не читала (у меня просто терпения бы не хватило, там целая "Война и Мир").

Прочитайте. Там приведены рассуждения, приводящие к решению очень быстро. Не требуется ничего угадывать и подбирать.

Ага! Можете по ходу чтения подставлять в формулы автора свое решение, раз уж оно частное - это может облегчить Вам понимание.

[Xenia1996]

Sonic86 в сообщении #386814 писал(а):

TOTAL писал(а):

Xenia1996 писал(а):

Честно говоря, их решение я не читала (у меня просто терпения бы не хватило, там целая "Война и Мир").

Прочитайте. Там приведены рассуждения, приводящие к решению очень быстро. Не требуется ничего угадывать и подбирать.

Ага! Можете по ходу чтения подставлять в формулы автора свое решение, раз уж оно частное - это может облегчить Вам понимание.

(Оффтоп)

Помните известный анекдот: "Чукча - не читатель, Чукча - писатель!"?

[AD]

(Оффтоп)

Xenia1996 в сообщении #386812 писал(а):

Но ведь для доказательства бесконечности достаточно и этого частного случая? Или принцип Бритвы Оккама уже отменили?

Бритва Оккама, вообще говоря, не отбивает стремление к полному исследованию проблемы

[Xenia1996]

AD в сообщении #386825 писал(а):

(Оффтоп)

Xenia1996 в сообщении #386812 писал(а):

Но ведь для доказательства бесконечности достаточно и этого частного случая? Или принцип Бритвы Оккама уже отменили?

Бритва Оккама, вообще говоря, не отбивает стремление к полному исследованию проблемы

(Оффтоп)

Абсолютно с Вами согласна. Но обратите, пожалуйста, внимание на другой момент. Если задачу с олимпиады такого уровня удалось решить 14-летней девочке (30 декабря мне исполнится 14), не владеющей высшей математикой, это свидетельствует о "проколе" авторов задачи. По-моему, они просто не додумались до того, что эту же задачу возможно решить на несколько порядков более простым путём.

[Sonic86]

Можно оправдать автором тем, что Вы дали частное решение (и вообще исходя из авторского решения их можно много дать, и, таким образом, охватить множество различных вариантов) + авторы его делают не методом тыка, а по теории (наверное ищут рациональные точки на кривой, хотя не уверен).

[TOTAL]

Xenia1996 в сообщении #386827 писал(а):

По-моему, они просто не додумались до того, что эту же задачу возможно решить на несколько порядков более простым путём.

Их путь не сложнее Вашего. Прочитайте.