Функан, задача Штурма-Лиувилля

[id]

Пусть дано ДУ: $-h'' + q h -\lambda h = f$ вместе с граничными условиями $\alpha h(a) + \alpha_1 h'(a) = 0,\beta h(b) =\+ \beta_1 h'(b) = 0$. $q$ непрерывна.
Пусть $\mathcal D := \{ h\in C^1[a,b]: h'-$ абсолютно непрерывна $,h'' \in L^2[a,b], h$ удовлетворяет задаче выше $\}$
Определим оператор $L:\mathcal D \to L^2[a,b]; Lh = -h'' + qh$.
Будем считать, что $\mathrm{Ker} \ L = 0$.

Тогда известно (Conway, A course in functional analysis, II.6.12), что существует последовательность $\{ \lambda_n \}_n \subset \mathbb R$ и ортонормированный базис $\{e_n\}_n$ в $L^2[a,b]$, что
1) $0<|\lambda_1|<|\lambda_2|< \dots, \ |\lambda_n| \to \infty$,
2) $\forall n \ e_n \in \mathcal D, \ Le_n = \lambda_n e_n$
3) Если $\lambda \notin \{\lambda_n\}_n$, то существует единственное $h\in \mathcal D: \ L h - \lambda h = f$

Требуется показать, что это самое $h$ есть $\sum\limits_n (\lambda_n - \lambda)^{-1} <f,e_n> e_n$, где последний сходится равномерно и абсолютно на $[a,b]$. Показать, что сходится в $L^2[a,b]$ легко, используя замкнутость $L$ (он ведь вроде как замкнут?..) можно показать, что он сходится к решению.

Но как показать равномерную и абсолютную сходимость? Подозреваю, что нужно использовать свойства интегрального оператора $G$ с ядром- функцией Грина $g$, что $\forall h\in \mathcal D: \ GLh = h, \ \forall h\in L^2[a,b]: \ LGh = h$

[ewert]

id в сообщении #384300 писал(а):

Но как показать равномерную и абсолютную сходимость?

для любого оператора Штурма-Лиувилля есть асимптотика собственных чисел вида $\lambda_n\sim C\cdot n^2$ (уж для непрерывных потенциалов всяко, и не не только). Отсюда уже следует абсолютная сходимость. А вот насчёт равномерной -- так сходу не скажу. Собственно, нужна равномерная оценка собственных функций. Она, конечно, есть (хотя бы по квазиклассическому приближению), но как сделать это быстро -- забыл.

[id]

ewert
Любопытно (хотя учитывая общий контекст книги как-то с трудом верится, что используются подобные свойства; мне думалось, что нужно плясать от того, что $G$ - интегральный оператор со всеми отсюда следствиями, плюс то, что $\{e_n\}$ - ортонормированный базис для $L^2$ из собственных функций).
А как показывается абсолютная сходимость $h(x) = \sum\limits_n (\lambda_n - \lambda)^{-1} <f,e_n> e_n(x)$, даже с учетом асимптотики собственных чисел, если не иметь равномерной оценки на собстенные функции?

P.S. А оператор $L$ все-таки замкнут? (в тексте книги вроде как не говорится, но было бы удобно)

[vivisector]

Ряд сходится в $H^1[a,b]$, и $H^1[a,b]\subset C[a,b]$ отсюда следует равномерномерная сходимость

[id]

И еще. Эта задача - упражнение II.6.4 из книги Conway выше, перед ним идет упражнение II.6.3

Цитата:

$h \in \mathcal D \Leftrightarrow h \in L^2[a,b], \sum\limits_n \lambda_n^2 |<h,e_n>| < \infty$
$h \in \mathcal D \Rightarrow h(x) = \sum\limits_n <h,e_n> e_n(x)$, где ряд сходится равномерно и абсолютно на [a,b]

Если доказать его, то ведь (если оператор замкнут) нужное получится очевидным образом?

[sup]

Достаточно доказать, что при больших $n$

$$ ||e_n||_{W_2^1(a,b)} \leqslant C\sqrt{\lambda_n}||e_n||_{L_2(a,b)}$$

Это неравенство легко получить умножив уравнение для $e_n$ на $e_n$.
После этого воспользуемся асимптотикой собственных чисел.

[ewert]

id в сообщении #384349 писал(а):

А оператор $L$ все-таки замкнут? (в тексте книги вроде как не говорится, но было бы удобно)

Естественно, замкнут. Во всяком случае, допускает замыкание, раз уж он симметричен. А фактически -- просто замкнут, поскольку в задаче определён максимально -- на всём $W_2^2[a;b]$ с граничными условиями (там в тексте это хитро замаскировано, но опознать всё-таки можно).

[id]

vivisector
Про сходимость в $H^1 = W_1^2$ немного недопонял.

sup
$L e_n = \lambda_n e_n \Rightarrow -e_n'' = - q e_n + \lambda_n e_n$, но что получим отсюда умножением на $e_n$?

(И, да, в книге к этому моменту пространства Соболева не вводятся, что заставляет подумать о других решениях, возможно, с учетом упр. II.6.3, которое тоже бы интересно узнать, как доказывается)

ewert
Тогда это решает ту часть задачи, в которой требуется показать, что это решение (учитывая что коэффициенты $(\lambda_n - \lambda)^{-1}<f,e_n>$ есть просто коэффициенты Фурье элемента $h$).

[ewert]

id в сообщении #384412 писал(а):

vivisector
Про сходимость в $H^1 = W_1^2$ немного недопонял.

Да имелась в виду соотв. теорема вложения, наверняка, но вспоминать как конкретно имелась -- снова лень. И, кстати, почему $W_1^2$, когда $W_2^1$ (естественные обозначения именно таковы).

(Оффтоп)

id в сообщении #384412 писал(а):

(И, да, в книге к этому моменту пространства Соболева не вводятся

И жаль; без них все заклинания выглядят как-то безыдейно.

[id]

ewert
Теорему вложения знаю, но почему сходится-то?.. (выше тривиальными выкладками только сходимость в $L^2$ получил пока что).

[vivisector]

Базис $\{e_k\}$ на самом деле является базисом не только в $L^2[a,b]$ но и в подпространстве $H^1[a,b]$ состоящем из функций для которых выполнены краевые условия.

[id]

vivisector
Это будет $\mathcal D$, но с нормой $H^1$, и оно будет в этой норме замкнуто?
Гм... много тут всего показывать.

[sup]

Насчет оценки в $W_2^1(a,b)$- забыл добавить: ... и проинтегрируем по частям. Отсюда уже легко показать сходимость ряда в $W_2^1(a,b)$. А следовательно и в $C[a,b]$.
Но можно обойтись и без этих оценок.
Для доказательства равномерной сходимости достаточно привести мажоранту. А она легко предъявляется, если показать равномерную ограниченность всех $e_n$ в $C[a,b]$.
Пусть $f_n = <f,e_n>$. Очевидно, что $f_n \in l_2$ (неравенство Бесселя). В силу ограниченности $e_n$ и асимптотики $\lambda_n$, получаем, что ряд $\Sigma \frac{f_n}{\lambda_n - \lambda}$ абсолютно сходится. Вот и мажоранта.
Что касается упражнения II.6.3. Да все то же самое. Пусть $h_n = <h,e_n>$. Тогда
$h=\Sigma h_n e_n$
$Lh=\Sigma \lambda_n h_n e_n$
Значит $\lambda_n h_n \in l_2$ если и только если $Lh \in L_2(a,b)$.
Второе утверждение - следствие первого, асимптотики $\lambda_n$ и ограниченности $e_n$ в $C[a,b]$.

-- Вт дек 07, 2010 10:29:19 --

Насчет оценки в $W_2^1(a,b)$- забыл добавить: ... и проинтегрируем по частям. Отсюда уже легко показать сходимость ряда в $W_2^1(a,b)$. А следовательно и в $C[a,b]$.
Но можно обойтись и без этих оценок.
Для доказательства равномерной сходимости достаточно привести мажоранту. А она легко предъявляется, если показать равномерную ограниченность всех $e_n$ в $C[a,b]$.
Пусть $f_n = <f,e_n>$. Очевидно, что $f_n \in l_2$ (неравенство Бесселя). В силу ограниченности $e_n$ и асимптотики $\lambda_n$, получаем, что ряд $\Sigma \frac{f_n}{\lambda_n - \lambda}$ абсолютно сходится. Вот и мажоранта.
Что касается упражнения II.6.3. Да все то же самое. Пусть $h_n = <h,e_n>$. Тогда
$h=\Sigma h_n e_n$
$Lh=\Sigma \lambda_n h_n e_n$
Значит $\lambda_n h_n \in l_2$ если и только если $Lh \in L_2(a,b)$.
Второе утверждение - следствие первого, асимптотики $\lambda_n$ и ограниченности $e_n$ в $C[a,b]$.

[id]

Цитата:

В силу ограниченности $e_n$

Ну тут-то нужны еще дополнительные заклинания, ведь то, что $e_n$ ограничены в $C[a,b]$, из самой первой части не следует; нужно либо использовать вложение в $C[a,b]$ либо что еще. Нет?

[sup]

Ну конечно нужны. Можно воспользоваться асимптотикой собственных функций. А можно и "в лоб".
Перенести слагаемое $qe_n$ в правую часть, и, считая ее известной, решить соответствующую краевую задачу. Придется немножко повозиться. По мне так проще обойтись оценкой $e_n$ в $W_2^1(a,b)$. Ну или "без пространств Соболева", просто используем оценку $e'_n$ в $L_2(a,b)$. Какие то оценки все равно нужны. А как без них? Ну можно пытаться оценить ядро интегрального оператора. Вряд ли это проще.