2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Факториал как произведение четырёх последовательных
Сообщение04.12.2010, 23:44 
Некоторые факториалы можно представить в виде произведения четырёх последовательных натуральных чисел:
$4!=1*2*3*4$
$5!=2*3*4*5$
$7!=7*8*9*10$
А есть ещё такие?
И как их найти?

 
 
 
 Re: Факториал как произведение четырёх последовательных
Сообщение05.12.2010, 00:27 
Аватара пользователя
Таких нет больше.
Решение примерно такое:
Если $n!=a(a+1)(a+2)(a+3)$, то одно из чисел в правой части должно делиться на $n$.
В ряду $1...n$ есть примерно $\dfrac{n}{\ln(n)}$ простых чисел, на которые априори не могут делиться четыре последовательных числа. Т.е. $\dfrac{n}{\ln(n)}\leq4$. Откуда $n\leq13$. Но до $13$ таких чисел больше нет.
(это решение немного неверное, но идея примерно такая, просто 4 последовательных числа могут делиться больше чем на 4 простых числа, но искать точную оценку не стал).

 
 
 
 Re: Факториал как произведение четырёх последовательных
Сообщение05.12.2010, 00:34 
age в сообщении #383659 писал(а):
Таких нет больше.
Решение примерно такое:
Если $n!=a(a+1)(a+2)(a+3)$, то одно из чисел в правой части должно делиться на $n$.
В ряду $1...n$ есть примерно $\ln(n)$ простых чисел, на которые априори не могут делиться четыре последовательных числа. Т.е. $\ln(n)\leq3$. Откуда $n\leq20$. Но до 20 таких чисел больше нет.

Спасибо!
Я просто пытаюсь решить проблему Брокарда. Вот две ссылки на неё:

http://mathworld.wolfram.com/BrocardsProblem.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Brocard%27s_problem

Зная, что произведение четырёх последовательных натуральных чисел в сумме с единицей даёт полный квадрат, я хотела найти побольше таких факториалов.

-- Вс дек 05, 2010 00:39:31 --

А вот ещё ссылка (там задача номер 1 очень напоминает проблему Брокарда :mrgreen: ):

http://www.zaba.ru/cgi-bin/tasks.cgi?to ... 991.8klass

 
 
 
 Re: Факториал как произведение четырёх последовательных
Сообщение05.12.2010, 00:42 
Аватара пользователя
Ух Вы, Ксения! Яму мне вырыли, а я и не заметил! :D Т.е. из моего рассуждения следует, что таких чисел больше нет?
Т.к. $a(a+1)(a+2)(a+3)+1=(a^2+3a+1)^2$, а если $a(a+1)(a+2)(a+3)\neq n!$, то и проблема Брокарда неразрешима!? :D

Вообще идея насчет подмены факториала на произведение четырех последовательных чисел у Вас интересна, а как Вы ее нашли!?

 
 
 
 Re: Факториал как произведение четырёх последовательных
Сообщение05.12.2010, 00:47 
age в сообщении #383666 писал(а):
из моего рассуждения следует, что таких чисел больше нет?

Не следует. Не каждый квадрат представим в виде произведения четырёх последовательных.

-- Вс дек 05, 2010 00:50:35 --

age в сообщении #383666 писал(а):
Вообще идея насчет подмены факториала на произведение четырех последовательных чисел у Вас интересна, а как Вы ее нашли!?

Эмпирическим путём:
заметила, что
$4!+1=5^2=1*2*3*4+1$
$5!+1=11^2=2*3*4*5+1$

 
 
 
 Re: Факториал как произведение четырёх последовательных
Сообщение05.12.2010, 01:00 
Аватара пользователя
Понятно. Т.е. вы решили рассмотреть различные "типы квадратов", и начать вот с таких $(a^2+3a+1)^2=a(a+1)(a+2)(a+3)+1$.

Грубо говоря, т.е. существуют квадраты, равные определенному произведению без единицы. Очевидно, что если всякий квадрат можно представить в виде какого-то произведения (пусть не четырех, а больше чисел) без единицы, то и проблему Брокарда можно отсюда "выудить". Т.к. произведения последовательных чисел - суть факториалы, или $\dfrac{m!}{k!}$. Их гораздо легче пригнать к факториалам. Но все ли квадраты таковы!? Интересная идея.

 
 
 
 Re: Факториал как произведение четырёх последовательных
Сообщение05.12.2010, 01:06 
age в сообщении #383675 писал(а):
Понятно. Т.е. вы решили рассмотреть различные "типы квадратов", и начать вот с таких $(a^2+3a+1)^2=a(a+1)(a+2)(a+3)+1$.

Приблизительно так.
Вообще-то, я задачу для восьмого класса решала (вот эту):
http://www.zaba.ru/cgi-bin/tasks.cgi?to ... 991.8klass
(первая из тех, что Вы там видете).
Я пыталась решить так: сначала выяснить, какие факториалы в сумме с единичкой образуют полный квадрат, а потом уже из них отобрать те, которые дают не просто полный квадрат, а именно такой, какой требует условие задачи.

 
 
 
 Re: Факториал как произведение четырёх последовательных
Сообщение05.12.2010, 01:30 
Аватара пользователя
Мне кажется, что по вашему методу для проблемы Брокарда можно ввести следующее требование:
Найти все такие $n,k,m$, что $n!=k!\cdot m!$, $m,k>1$. Например, для известных случаев:
$4!=4!\cdot1!$
$5!=5!\cdot1!$ - это два исключения, т.к. представляются еще и как $a(a+1)(a+2)$.
А вот:
$7!\cdot6!=10!$.

Больше - ?

 
 
 
 Re: Факториал как произведение четырёх последовательных
Сообщение05.12.2010, 01:43 
age, помоему, вы что-то путаете.
Xenia1996 хотела найти именно произведение 4 подряд натуральных чисел. Так как такое произведение $+1$ можно представить как квадрат нат. числа. Тоесть если б такие факториалы существовали, они автоматически становились бы решениями той проблемы.
Ну а $n!=k!*m!$ в общем виде не имеет никакого отношения к той проблеме.


Xenia1996, по поводу той задачи: раскройте скобки, и получите:
$n!=m!(m!-2)$ или же
$\frac{n!}{m!}=m!-2$
Ну и рассмотрите это по модулю 3.

 
 
 
 Re: Факториал как произведение четырёх последовательных
Сообщение05.12.2010, 01:44 
Аватара пользователя
MrDindows в сообщении #383694 писал(а):
Ну а $n!=k!*m!$ в общем виде не имеет никакого отношения к той проблеме.

Нет, имеет. Только факториалы вида $k!=\dfrac{n!}{m!}$, могут быть решениями проблемы Брокарда. Если кроме $4!$, $5!$ и $7!$ таких факториалов больше нет, то и проблема Брокарда неразрешима. (ну и естественно, $6!$, который в паре с $7!$ дает $10!$).

 
 
 
 Re: Факториал как произведение четырёх последовательных
Сообщение05.12.2010, 01:50 
age в сообщении #383695 писал(а):
Только факториалы вида $k!=\dfrac{n!}{m!}$, могут быть решениями проблемы Брокарда. $[/math]).


Обоснуйте.
Если мы заменим уравнение
$n!+1=a^2$ на $k!\cdot m!+1=a^2$ это нам что-то даст?

 
 
 
 Re: Факториал как произведение четырёх последовательных
Сообщение05.12.2010, 01:53 
Аватара пользователя
Нет, не так. Менять надо на частное, а не произведение:
$\dfrac{n!}{m!}+1=a^2$. Не даст это ничего, кроме того, что искать произведения факториалов легче. Почему существует такое условие!? Объяснять долго. Но смысл в параметризации произведений без единиц как целых квадратов. Т.е. не может быть квадратом без единицы $k!$, если оно не представимо как $\dfrac{n!}{m!}$

 
 
 
 Re: Факториал как произведение четырёх последовательных
Сообщение05.12.2010, 01:57 
За частное согласен, напутал. Но почему именно "только факториалы такого вида могут быть решениями"?
То, что единственные известные решения имеют такой вид, ещё не значит что все решения должны быть такими.

 
 
 
 Re: Факториал как произведение четырёх последовательных
Сообщение05.12.2010, 01:59 
Аватара пользователя
Смысл в том, что $\dfrac{n!}{m!}$ - есть суть произведение последовательных чисел вида $a(a+1)(a+2)...$ как и написала Xenia1996. Только такие произведения могут быть решениями проблемы Брокарда.

 
 
 
 Re: Факториал как произведение четырёх последовательных
Сообщение05.12.2010, 02:01 
age в сообщении #383701 писал(а):
Смысл в том, что $\dfrac{n!}{m!}$ - есть суть произведение последовательных чисел вида $a(a+1)(a+2)...$ как и написала Xenia1996.
Та это понятно=)


age в сообщении #383701 писал(а):
Только такие произведения могут быть решениями проблемы Брокарда.

Вы это утверждение можете доказать?)

 
 
 [ Сообщений: 53 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group