Диофантово уравнение

[romanz]

При заданном натуральном значении $m$ найдите общее решение диофантова уравнения $s_0^3+s_1^3m+s_2^3m^2-3s_0s_1s_2m=1$.

[Ales]

Другими словами, найти единицы в кольце, порожденном кубическим корнем из $m$.

[romanz]

Совершенно верно, Ales. Что Вам известно о решении этой задачи? Она в общем случае решена или нет?
Возможно Вам известны некоторые частные ее решения? Я тут не спец, но эта информация мне очень нужна.

Спасибо.

[Ales]

romanz в сообщении #383676 писал(а):

Совершенно верно, Ales. Что Вам известно о решении этой задачи? Она в общем случае решена или нет?
Возможно Вам известны некоторые частные ее решения? Я тут не спец, но эта информация мне очень нужна.

Спасибо.

Думаю, что в общем случае она не решена и ее нельзя решить.
Ее можно рассматривать как обобщение уравнения Пелля на кубический случай.

Частные случаи, когда $m$ равно:
1 - одно из чисел равно 1 - группа из трех элементов;
куб - всего одна единица (одно тривиальное решение);
куб $\pm 1$, например 2,7,9: $x^3-m=\pm 1$ - возникает бесконечная группа единиц.

Свойства группы единиц можно исследовать, как дискретную подгруппу двумерной коммутативной группы Ли (бесконечная труба):
конечный случай похоже только тривиальный (исключение m=1),
бесконечный - одна или две образующих, если есть две $a,b$ то $a^k=b^l $.

[romanz]

Большое спасибо, Ales.
В интернете я нашел, что когда-то этими вопросами занимались Делоне, Биллевич, Вороной. Нашел также некоторые статьи и книгу Делоне. Сейчас, наверно, ярких представителей теории алгебраических чисел на Руси нет? Что Вы мне еще порекомендовали бы почитать в этом направлении?

P.S. Попав первый раз на форум dxdy, я сразу заметил, что на форуме крупная рыба водится. Настоящие киты математики. Спасибо организаторам форума за то, что есть у кого проконсультироваться.

[Ales]

romanz в сообщении #383840 писал(а):

Что Вы мне еще порекомендовали бы почитать в этом направлении?

К сожалению, я не специалист и ничего не могу рекомендовать на должном уровне.
Я просто интересуюсь этой темой и увидел нечто знакомое.
Такого типа выражения - детерминанты (определители) матриц встречались мне в связи с большой Теоремой Ферма.
Все, что я написал, это только мои соображения, их следует проверить (я мог и ошибиться).

На форуме действительно есть спецы по теории чисел, но не я.
Я специализировался по качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

А в чем смысл решения этой задачи?

-- Пн дек 06, 2010 01:03:42 --

Есть целый сайт, где много разных книг по числам: http://ega-math.narod.ru/DeepLink.htm

[romanz]

Спасибо за ответ.

В настоящее время я занимаюсь новым, или не замеченным старым алгоритмом обобщения непрерывных дробей. В частности рациональными приближениями кубических форм $x+ym^{\frac{1}{3}}+zm^{\frac{2}{3}}$ единичной нормы.


О каких детерминантах Вы упоминали в своем ответе? Где Вы их встречали? Возможно, при помощи детерминантов, можно легко строить аналогичные формы высших порядков?

[Ales]

Алгебраическое число можно изучать как целочисленную матрицу с характеристическим многочленом,
обращающим в ноль это число. Ведь матрица аннулируется своим характеристическим многочленом.
Если корни разные и многочлен не разложим над полем рациональных чисел, то алгебра одинаковая.

Например, $R=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 & m \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 &0 \end{array} \right)$.
$R^3=m$.
$x+yR+zR^2=\left( \begin{array}{lll} x & mz & my \\ y & x & mz \\ z & y &x \end{array} \right)$.
$det(x+yR+zR^2)=x^3+my^3+m^2z^3-3mxyz$.

-- Пн дек 06, 2010 13:59:06 --

Целочисленная матрица обратима целочисленной - их определители равны плюс-минус единице.

[erwins]

"Целочисленная матрица обратима целочисленной - их определители равны плюс-минус единице." - можно по подробнее... очень интересно

[romanz]

Спасибо, Ales.

[Ales]

erwins в сообщении #384270 писал(а):

"Целочисленная матрица обратима целочисленной - их определители равны плюс-минус единице." - можно по подробнее... очень интересно

Имел в виду, что если $A, A^{-1}$ целочисленные, то $detA=detA^{-1}=\pm 1$.

[ИСН]

Ну это ладно, а что нам толку с этой матрицы (в плане рац. приближений)? И, кстати, как её найти, располагая только числом?

[Ales]

ИСН в сообщении #384423 писал(а):

Ну это ладно, а что нам толку с этой матрицы (в плане рац. приближений)? И, кстати, как её найти, располагая только числом?

Если число задано в виде $x+ym^{\frac{1}{3}}+zm^{\frac{2}{3}}$ матрицу найти не трудно.
А вот как ее использовать в плане приближений не знаю.

[romanz]

Для самих рациональных приближений задание уравнения в виде детерминанта матрицы, наверно, не имеет значения, разве что для дальнейших обобщений уравнения Пелля.

-- Вт дек 07, 2010 01:17:03 --

Ales в сообщении #384133 писал(а):

Есть целый сайт, где много разных книг по числам: http://ega-math.narod.ru/DeepLink.htm

Да, забыл поблагодарить за книги.

[Ales]

romanz в сообщении #384446 писал(а):

Да, забыл поблагодарить за книги.

Пожалуйста.
Но конечно это не моя заслуга.
Спасибо тому, кто сделал такой замечательный сайт для народа.