Дифференциальное уравнение второго порядка

[Ferd]

Здравствуйте!
Не могу сам, так как не хватает опытности, можно сказать, что она стремится к нулю, так как это моё первое в жизни дифференциальное уравнение второго порядка.Очень нужна помощь в решении, самому не справиться.
Условие задания:
Требуется найти общее решение и общий интеграл дифференциального уравнения второго порядка.
${x}\cdot{y''} = {y'}\cdot{ln{\dfrac{y'}{x}}}$
Заранее всем спасибо.

[paha]

Ferd в сообщении #373853 писал(а):

Требуется найти общее решение и общий интеграл дифференциального уравнения второго порядка.
${x}\cdot{y''} = {y'}\cdot{ln{\dfrac{y'}{x}}}$

А где тут игрек???

[Ferd]

paha в сообщении #373856 писал(а):

А где тут игрек???

paha
У меня, когда немного почитал теорию возник тот же вопрос.
Думаю, что ${y}$ прячется в производных, которые здесь константы.
А как Вы думаете?
Спасибо!

[Joker_vD]

paha в сообщении #373856 писал(а):

А где тут игрек???

Это такая тонкая подсказка, что замена $y' = u$ превращает уравнение в уравнение первого порядка.

[Ferd]

Joker_vD в сообщении #373865 писал(а):

Это такая тонкая подсказка, что замена $y' = u$ превращает уравнение в уравнение первого порядка.

Joker_vD
А почему Вы решили, что именно ${y'} = {u}$ такую нужно делать замену, а если, например, сделать замену ${y''} = {z}$, почему именно так нужно или можно как-то по-другому это уравнение представить?
То, что его нужно сводить к более простому - это понятно.
Может к Бернулли можно свести или к обычному дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными объясните пожалуйста?
Спасибо.

[Joker_vD]

Ferd в сообщении #373866 писал(а):

А почему Вы решили, что именно такую нужно делать замену

Потому что у нас в выражении участвуют лишь $y', \, y''$ — в новых обозначениях $u, \, u'$. А если делать замену $y'' = z$, то как вы обозначите $y'$?

Ferd в сообщении #373866 писал(а):

Может к Бернулли можно свести или к обычному дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными объясните пожалуйста?

К уравнению с разделяющимися — очень вряд ли. А Бернулли вам зачем? Лучше сразу к линейному сводите.

[Ferd]

Joker_vD в сообщении #373867 писал(а):

Потому что у нас в выражении участвуют лишь $y', \, y''$ — в новых обозначениях $u, \, u'$. А если делать замену $y'' = z$, то как вы обозначите $y'$?

Joker_vD
Вот здесь я уже не могу Вам ответить.А как бы Вы обозначили и почему объясните пожалуйста формулами как это получается, что нужно для этого сделать и как это записать?

Joker_vD в сообщении #373867 писал(а):

К уравнению с разделяющимися — очень вряд ли. А Бернулли вам зачем? Лучше сразу к линейному сводите.

Joker_vD
Здесь тоже самое, без Вашей помощи ничего не могу сделать объясните пожалуйста ход Ваших рассуждений и словами и формулами?
Спасибо.

[paha]

Ferd
не ленитесь, откройте стандартный задачник (напр., Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям... или уж Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям)
там перечислены все стандартные методы с примерами

[Ferd]

paha в сообщении #373869 писал(а):

Ferd
не ленитесь, откройте стандартный задачник (напр., Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям... или уж Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям)
там перечислены все стандартные методы с примерами

paha
В таком случае мне надо их скачать, а где не знаю, может кинете ссылки?
Спасибо.

[Joker_vD]

Ferd в сообщении #373868 писал(а):

Вот здесь я уже не могу Вам ответить.А как бы Вы обозначили и почему

Да я бы так не делал! Нафига мне интегральное уравнение?

Ferd в сообщении #373868 писал(а):

объясните пожалуйста ход Ваших рассуждений и словами и формулами?

Ну что тут объяснять? Раскрывайте логарифм, делите на всякие вещи с учетом $\frac{f'(x)}{f(x)} = (\ln f(x))'$.

И да, посмотрите в задачнике. Зайдите в библиотеку вашего университета... хотя их уже разобрали, наверное, но попробуйте. Ну, и используйте ген.либ.рус.ек если нужны электронные книги по математике.

[Ferd]

Joker_vD в сообщении #373874 писал(а):

Да я бы так не делал! Нафига мне интегральное уравнение?

Joker_vD
Откуда у Вас получается интегральное уравнение объясните пожалуйста?
А как бы Вы сделали?
Думаю, что обозначили бы производную в натуральном логарифме ${y'} = {u}$.
Но не уверен...

Joker_vD в сообщении #373874 писал(а):

Ну что тут объяснять? Раскрывайте логарифм, делите на всякие вещи с учетом $\frac{f'(x)}{f(x)} = (\ln f(x))'$.

И да, посмотрите в задачнике. Зайдите в библиотеку вашего университета... хотя их уже разобрали, наверное, но попробуйте. Ну, и используйте ген.либ.рус.ек если нужны электронные книги по математике.

Joker_vD
Да вот как же этот логарифм раскрыть, у меня мыслей нет.А у Вас есть какие-то?
У меня методичка с примерами есть и пособие Потапенко 2006 год Дифференциальные уравнения 70 страниц.
Спасибо.

[Alexey1]

Как Вам уже подсказывали, делайте замену $y'=u$, получаете уравнение $xu'=u\ln\big(\frac{u}{x}\big)$. Теперь делите на $u$ получаете $x\frac{u'}{u}=\ln\big(\frac{u}{x}\big)$ или $x\frac{u'}{u}-\ln\big(\frac{u}{x}\big)=0$ и используя то, что $(\ln(u))'=\frac{u'}{u}$, записываете $x(\ln(u))'-\ln\big(\frac{u}{x}\big)=0$ или $x(\ln(u))'-\ln(u)+\ln(x)=0$. Теперь смотрите как решаются уравнения вида $y'+P(x)y=Q(x)$ например здесь.

[Ferd]

Alexey1 в сообщении #373881 писал(а):

Как Вам уже подсказывали, делайте замену $y'=u$, получаете уравнение $xu'=u\ln\big(\frac{u}{x}\big)$. Теперь делите на $u$ получаете $x\frac{u'}{u}=\ln\big(\frac{u}{x}\big)$ или $x\frac{u'}{u}-\ln\big(\frac{u}{x}\big)=0$ и используя то, что $(\ln(u))'=\frac{u'}{u}$, записываете $x(\ln(u))'-\ln\big(\frac{u}{x}\big)=0$ или $x(\ln(u))'-\ln(u)+\ln(x)=0$. Теперь смотрите как решаются уравнения вида $y'+P(x)y=Q(x)$ например здесь.

Alexey1
Вопросы
1).Как получается при замене $y'=u$ уравнение $xu'=u\ln\big(\frac{u}{x}\big)$. Почему в левой части получается ${x}\cdot{u'}$ Какие действия мы проделываем объясните пожалуйста и почему и напишите как это получается пожалуйста?
2).Почему Мы делим на ${u}$ обе части, а не умножаем например, какими соображениями Вы пользовались?
3).Почему Мы переносим всё в одну часть уравнения для чего исходя из каких соображений?
4).$(\ln(u))'=\frac{u'}{u}$ - Это производная сложной функции или это просто какая-то формула перехода?
5).Остальное как получается не понимаю объясните пожалуйста?
Спасибо.

[Alexey1]

Ferd в сообщении #373882 писал(а):

1).Как получается при замене $y'=u$ уравнение $xu'=u\ln\big(\frac{u}{x}\big)$. Почему в левой части получается ${x}\cdot{u'}$ Какие действия мы проделываем объясните пожалуйста и почему и напишите как это получается пожалуйста?

Это просто обозначение. Если $y'=u$, то $y''=u'$. Теперь подставляете в уравнение. Почему это делается? Потому, что в приведённом Вами уравнении нет $y$, а значит можно понизить порядок уравнения.

Ferd в сообщении #373882 писал(а):

2).Почему Мы делим на ${u}$ обе части, а не умножаем например, какими соображениями Вы пользовались?

А умножение что-нибудь упростит? Вы делаете то, что может упростить решение уравнения. В данном случае Вы пытаетесь получить уравнение которое можете решить. Например, уравнение $y'=xy$. Что здесь делаем? Делим на $y$. Почему? Потому что, мы знаем как решать уравнения вида $f(y)dy=q(x)dx$, то есть уравнения с разделяющимися переменными.

Ferd в сообщении #373882 писал(а):

3).Почему Мы переносим всё в одну часть уравнения для чего исходя из каких соображений?

Можете не переносить. Это особо ничего не меняет. Главное получить то уравнение, которое знаем как решать.

Ferd в сообщении #373882 писал(а):

4).$(\ln(u))'=\frac{u'}{u}$ - Это производная сложной функции или это просто какая-то формула перехода?

Да, это производная сложной функции.

[Ferd]

Alexey1 в сообщении #373883 писал(а):

Это просто обозначение. Если $y'=u$, то $y''=u'$. Теперь подставляете в уравнение. Почему это делается? Потому, что в приведённом Вами уравнении нет $y$, а значит можно понизить порядок уравнения.

Alexey1
Теперь понятно немного стало

Alexey1 в сообщении #373883 писал(а):

А умножение что-нибудь упростит? Вы делаете то, что может упростить решение уравнения. В данном случае Вы пытаетесь получить уравнение которое можете решить. Например, уравнение $y'=xy$. Что здесь делаем? Делим на $y$. Почему? Потому что, мы знаем как решать уравнения вида $f(y)dy=q(x)dx$, то есть уравнения с разделяющимися переменными.

Alexey1
Это тоже понятно теперь

Alexey1 в сообщении #373883 писал(а):

Можете не переносить. Это особо ничего не меняет. Главное получить то уравнение, которое знаем как решать.

Alexey1
И это теперь тоже понятно

Alexey1 в сообщении #373883 писал(а):

Да, это производная сложной функции.

Alexey1
И это понятно теперь
Вопросы остались:
5).Что происходит дальше?
Почему Мы используем производную $(\ln(u))'=\frac{u'}{u}$, а затем записываем $x(\ln(u))'-\ln\big(\frac{u}{x}\big)=0$ или $x(\ln(u))'-\ln(u)+\ln(x)=0$ для чего исходя из каких соображений Мы это делаем и как это посчитать по каким формулам напишите пожалуйста формулами подробно какие преобразования Мы выполняем?
Спасибо.