Дифференциальное уравнение второго порядка

[Alexey1]

Ferd в сообщении #373889 писал(а):

1).Что происходит дальше?

Дальше, подумайте какую сделать замену, чтобы избавиться от $\ln(u)$. Ну то есть, опять же необходимо привести уравнение к виду $w'+P(x)w=Q(x)$. Для этого и делаются все преобразования.

[Ferd]

Alexey1
Я не могу идти дальше, так как не понимаю того, что спросил в вопросе 5).
Объясните пожалуйста.
Посмотрите пожалуйста мой предыдущий пост.
Спасибо.

[Alexey1]

Ferd в сообщении #373889 писал(а):

Почему Мы используем производную $(\ln(u))'=\frac{u'}{u}$, а затем записываем $x(\ln(u))'-\ln\big(\frac{u}{x}\big)=0$ или $x(\ln(u))'-\ln(u)+\ln(x)=0$ для чего исходя из каких соображений Мы это делаем и как это посчитать по каким формулам напишите пожалуйста формулами подробно какие преобразования Мы выполняем? Спасибо.

В уравнении замечаем, что его можно записать, скажем так, как дифференциальное уравнение для функции $\ln(u)$. Для этого и делается замена $(\ln(u))'=\frac{u'}{u}$. Опять же, необходимо привести уравнение к виду $w'+P(x)w=Q(x)$. Как это сделать?

[ewert]

Да не надо никаких логарифмирований и прочих изобретательств. После $xu'=u\,\ln{u\over x}$ должно напрашиваться $u'={u\over x}\,\ln{u\over x}$ с последующей автоматической заменой $w(x)={u(x)\over x}$, это стандарт.

[Ferd]

Alexey1 в сообщении #373893 писал(а):

В уравнении замечаем, что его можно записать, скажем так, как дифференциальное уравнение для функции $\ln(u)$. Для этого и делается замена $(\ln(u))'=\frac{u'}{u}$. Опять же, необходимо привести уравнение к виду $w'+P(x)w=Q(x)$. Как это сделать?

Alexey1
А почему мы делаем именно такую замену $(\ln(u))'=\frac{u'}{u}$, а например не такую ${(\ln(u))}={u}$ или не такую ${(\ln(u))'}={u'}$, или обязательно должна учитываться производная или нет?
Исходя из каких соображений Мы действуем именно так?
Alexey1
Для чего опять необходимо привести уравнение к виду $w'+P(x)w=Q(x)$ объясните пожалуйста исходя из каких соображений Вы так решили?
Alexey1
Как это сделать?
Я не могу Вам ответить, так как не понимаю хода Ваших мыслей.
Спасибо!

-- 12 ноя 2010, 19:50 --

ewert в сообщении #373895 писал(а):

Да не надо никаких логарифмирований и прочих изобретательств. После $xu'=u\,\ln{u\over x}$ должно напрашиваться $u'={u\over x}\,\ln{u\over x}$ с последующей автоматической заменой $w(x)={u(x)\over x}$, это стандарт.

ewert
Объясните пожалуйста почему не надо логарифмировать и не нужны изобретательства объясните пожалуйста почему и как Вы поняли, что нужно делать именно так, а не иначе? Alexey1 пишет, что нужно логарифмировать и изобретательства здесь нужны. Так где же всё-таки правда? Как будет правильно?
Вопрос:
ewert
Как Вы посчитали, чтобы получить из $xu'=u\,\ln{u\over x}$ $u'={u\over x}\,\ln{u\over x}$ Что Вы для этого сделали напишите пожалуйста как Вы это посчитали?
Вы пишите, что нужно будет потом сделать замену $w(x)={u(x)\over x}$ Почему Вы решили, что нужно сделать именно такую замену и почему такую, а не какую-то другую?
Спасибо.

[paha]

Ferd в сообщении #374173 писал(а):

А почему мы делаем именно такую замену $(\ln(u))'=\frac{u'}{u}$

это не замена, а тождество

а это

Ferd в сообщении #374173 писал(а):

${(\ln(u))}={u}$

нон-сенс

Ferd в сообщении #374173 писал(а):

Для чего опять необходимо привести уравнение к виду $w'+P(x)w=Q(x)$

это стандартное линейное уравнение с известным решением

-- Пт ноя 12, 2010 23:27:44 --

Ferd
уже правда, откройте стандартный учебник, почитайте. А вот если там что-то не поймете -- задавайте аргументированные вопросы

[Alexey1]

Ferd в сообщении #374173 писал(а):

А почему мы делаем именно такую замену $(\ln(u))'=\frac{u'}{u}$, а например не такую ${(\ln(u))}={u}$ или не такую ${(\ln(u))'}={u'}$, или обязательно должна учитываться производная или нет? Исходя из каких соображений Мы действуем именно так?

Такую замену никто не делал. Просто записали $\frac{u'}{u}=(\ln(u))'$. Можете проверить что это действительно так, это тождество. Как понимать, то что Вы написали, то есть $\ln(u)=u$? Это уже уравнение.

Ferd в сообщении #374173 писал(а):

Для чего опять необходимо привести уравнение к виду $w'+P(x)w=Q(x)$ объясните пожалуйста исходя из каких соображений Вы так решили?

Уравнение надо привести к уравнению которое можем решить. Например, ewert предложил привести его к другому виду и решить. Никакой категоричности здесь нет. Это два способа решения одного уравнения.
По Вашим вопросам, Вы хотите чтобы Вам написали алгоритм решения дифференциального уравнения. Это не получится, также как и не получится описать алгоритм вычисления интеграла. Опять, преобразовывайте уравнение пока она не будет похоже на то уравнение которое Вы сможете решить.

[Ferd]

paha
Тождество какое? Производная сложной фунции и как она получается или оно чисто символическое мы просто так обозначили объясните пожалуйста?
В моём предыдущем посте все вопросы, которые я не понимаю, объясните пожалуйста если нетрудно?
Спасибо.

-- 12 ноя 2010, 22:48 --

Alexey1 в сообщении #374324 писал(а):

Такую замену никто не делал. Просто записали $\frac{u'}{u}=(\ln(u))'$. Можете проверить что это действительно так, это тождество. Как понимать, то что Вы написали, то есть $\ln(u)=u$? Это уже уравнение.

Alexey1
Я подумал а почему не может быть других замен, а только такая, вот и написал так.

Alexey1 в сообщении #374324 писал(а):

Уравнение надо привести к уравнению которое можем решить. Например, ewert предложил привести его к другому виду и решить. Никакой категоричности здесь нет. Это два способа решения одного уравнения.
По Вашим вопросам, Вы хотите чтобы Вам написали алгоритм решения дифференциального уравнения. Это не получится, также как и не получится описать алгоритм вычисления интеграла. Опять, преобразовывайте уравнение пока она не будет похоже на то уравнение которое Вы сможете решить.

Alexey1
Совсем нет, я хочу уловить саму суть.Понимаю, что нужно преобразовывать, вот только с заменами не понимаю как правильно исходя из каких соображений делать замены или замену объясните пожалуйста?
Спасибо.

[paha]

Ferd в сообщении #374326 писал(а):

paha
Тождество какое? Производная сложной фунции и как она получается или оно чисто символическое мы просто так обозначили объясните пожалуйста?
В моём предыдущем посте все вопросы, которые я не понимаю, объясните пожалуйста если нетрудно?
Спасибо.

в учебник
Спасибо

[Ferd]

Alexey1
Я начну решать и потом выложу здесь.
Хорошо.

[ИСН]

Ferd, у Вас много букв. Так бывает, когда грузовик заехал в тупик. Бросьте эти диффуры, дайте задний ход, откройте предыдущий учебник и возьмите несколько интегралов средней сложности. Это напомнит Вам, как обращаться со всеми этими заменами - переменная туда, производная сюда, и вот брюки превращаются...

[Ferd]

paha
В учебник тоже заглядывал - не помогает.
Может быть Вы мне сможете помочь?

-- 12 ноя 2010, 23:02 --

ИСН
Спасибо.

[Ferd]

Alexey1
1).Понижаем порядок уравнения введением замены (новой функции) ${z(x)} ={y'}$
Тогда ${y''} = {\dfrac{dz}{dx} = {z'}$ - Есть ошибка?
2).Получаем уравнение первого порядка:
${x}{z'} = {z}{ln{\dfrac{z}{x}$ - Есть ошибки?
3)Делаем из него уравнение с разделяющимися переменными, для этого обе его части разделим на ${z}$, получим:
${x}{\dfrac{z'}{z}} = {ln{\dfrac{z}{x}$ - Есть ошибки?
4).Теперь используем производную натурального логарифма она равна:
${(ln{(z))'} = {\dfrac{z'}{z}}$ - Есть ошибки?
5).Получим уравнение ${x}{(ln{(z)})'} = {ln{({\dfrac{z}{x})}}$
6).Как получим из этого ${x}{(ln{(z)})'} = {ln{({\dfrac{z}{x})}}$ $x(\ln(z))'-\ln(z)+\ln(x)=0$ понятия не имею и для чего?

[Alexey1]

Ferd в сообщении #374394 писал(а):

3)Делаем из него уравнение сразделяющимися переменными, для этого обе его части разделим на ${z}$, получим:
${x}{\dfrac{z'}{z}} = {ln{\dfrac{z}{x}$ - Есть ошибки??

Это не уравнение с разделяющимися переменными. С разделяющимися перемеными было бы $f(z)dz=q(x)dx$, для соответствующих функций $f,q$.

Ferd в сообщении #374394 писал(а):

6).Как получим из этого ${x}{(ln{(z)})'} = {ln{({\dfrac{z}{x})}}$ $x(\ln(z))'-\ln(z)+\ln(x)=0$ понятия не имею и для чего?

Это вообще откуда? Должно быть $x(\ln(z))'-\ln(z)+\ln(x)=0$. Что делать дальше, прочитайте предыдущие сообщения.

[Ferd]

Alexey1 в сообщении #374409 писал(а):

Это не уравнение с разделяющимися переменными. С разделяющимися перемеными было бы $f(z)dz=q(x)dx$, для соответствующих функций $f,q$.

Alexey1
А остальное всё правильно или Вы просто проигнорировали?

Alexey1 в сообщении #374409 писал(а):

Это вообще откуда? Должно быть $x(\ln(z))'-\ln(z)+\ln(x)=0$. Что делать дальше, прочитайте предыдущие сообщения.

Alexey1
Там так и написано, вопрос в том как получить $x(\ln(z))'-\ln(z)+\ln(x)=0$?
Это Мы интегрируем полученное уравнение?
Спасибо!