Теор задача матан на неопределенный интеграл +ряд

[Klekota]

Есть функция $f:[a;b]\rightarrow R$ - непрерывная функция. Предположим, что для любой дифференцируемой $g:[a;b]\rightarrow R $ такой, что $ g(a)=g(b)$ выполняется:

$$\int_{a}^{b}{f(x)g'(x)dx}=0. $$

Что вы можете сказать о $f$ ?

Вопрос как видите открытый. Из тривиального - подходит константа. Мне кажется, что условию могут удовлетворять $f(): f(a)=f(b)$, но я не уверен в правильности этого заключения.

+ можно использовать формулу о дифференцирование произведения, откуда получим:

$$\int_{a}^{b}{f'(x)g(x)dx}=(f(b)-f(a))g(b)=(f(b)-f(a))g(a). $$

Но толку от этого маловато как по мне. Также просматривал теоремы о среднем для интеграла композиции функций - ничего из просмотренного не подошло(там накладываются условия на монотонность, чего мы тут не можем заключать).

Буду признателен за свежие идеи.

Вопрос 2.

Исследовать на сходимость ряд:

$$\sum{\sin(\frac{2\pi}{e}n!})$$

[ИСН]

В первом надо думать именно в эту сторону и приходить к мысли, что если функция, будучи умножена на любую другую, даёт в интеграле ноль, то она и сама ноль, причём всюду.
Во втором сводится к представлению $1\over e $ в виде факториального ряда, но я в этом месяце уже о нём что-то говорил, поэтому больше ничего не скажу.

[Klekota]

Ноль не обязательно. Достаточно константы.

По поводу ряда:
Если вдруг он сходится, то я вобще не имею представления как это доказать и посчитать сумму. С каким сравнить.

Была идея доказать, что не существует лимит от члена ряда и тогда ряд расходится. Но как - не знаю. Может учесть, что е - не рациональное. Но это как-то кисло для мат доказательства.

[ИСН]

(Оффтоп)

В одном старом советском фильме был какой-то персонаж, который часто всё повторял дважды, да ещё приговаривал "я не люблю повторять дважды". Это так, к слову.

1. Константы не достаточно. (Для константы не имеет места то же утверждение.) Только ноль. Возможно, речь идёт о другой функции, нежели Вы полагаете.
2. Факториального ряда, факториального ряда, факториального ряда.

[Klekota]

Уважаемый, обратите внимание, что функция g(x) принимает одинаковые значения на концах интервала интегрирования. Тогда константа выносится за знак интеграла, а интеграл от производной будет равен разнице значения функции g(x) на концах интервала, что есть ноль. Тоесть все выполняется.

[Null]

В первой задаче вопрос: $g'(x)$ может быть не интегрируемой, а интеграл должен считаться.

Поэтому $f(x)=0$?

[Klekota]

Вы что сговорились? Как она может быть неитегрируема, если по условию существует производная и она непрерывна на компакте?

И хочу заметить, что я написал задачу не для поднятия самооценки, а мне интересен ответ. До 16 числа включительно))

[ewert]

Klekota в сообщении #373346 писал(а):

Была идея доказать, что не существует лимит от члена ряда и тогда ряд расходится.

Он сходится по Лейбницу. Под "факториальным рядом" имелось в виду, что надо перевести $e$ в числитель и разложить $e^{-1}$ в стандартный ряд для экспоненты. После умножения на факториал первые (целочисленные) слагаемые из-под синуса исчезнут. Там будут кое-какие проблемы с монотонностью, но Вы уж сами подумайте, как их проще всего обойти.

(Оффтоп)

А что будет, если выкинуть из числителя двойку?...

-- Чт ноя 11, 2010 12:35:09 --

Klekota в сообщении #373407 писал(а):

Как она может быть неитегрируема, если по условию существует производная и она непрерывна на компакте?

Нет, Вы не говорили, что она непрерывна. Только что существует. А из только существования производной её интегрируемость действительно не следует.

[Joker_vD]

ewert в сообщении #373413 писал(а):

А из только существования производной её интегрируемость действительно не следует.

Я, кажется, уже забыл курс матанализа... Но разве неверно следующее утверждение: Если $g(x)$ дифференцируема, то ее производная $g'(x)$ имеет первообразную, и эта первообразная имеет вид $g(x)+C$, где $C$ — константа?

[Null]

Ну из существования первообразной интегрируемость не по Риману, не по Лебегу не следует. К тому же, по моему, существует такая непрерывная $f$, что $f g'$ не будет иметь даже первообразной.

[Klekota]

Если функция дифференцируемая на отрезке, то она непрерывна на нем. ( если нет, то жду контрпример)

Также если существует производная функции, то по самому определению эта функция + С будет первообразной. А при интегрировании по интервалу константы уйдут и останется просто разница функций.
(Если это не так, то пруфлинк или контрпример).

По поводу ряда:

Останется под синусом бесконечное число бесконечно малых слагаемых, тоесть неопределенность.
И если учесть, что этот ряд под синусом сойдется, то тогда нужно доказать сходимость к нулю или целому. В противном случаее бесконечное число синусов разойдется.

Жду еще идей))

[ewert]

Klekota в сообщении #373459 писал(а):

Если функция дифференцируемая на отрезке, то она непрерывна на нем. ( если нет, то жду контрпример)

$x^2\sin{1\over x^3}$
(речь шла о непрерывности не самой функции, конечно, а её производной)

Klekota в сообщении #373459 писал(а):

Также если существует производная функции, то по самому определению эта функция + С будет первообразной. А при интегрировании по интервалу константы уйдут и останется просто разница функций.
(Если это не так, то пруфлинк или контрпример).

Он же. Производная этой функции не интегрируема ни по Риману, ни даже по Лебегу.

Klekota в сообщении #373459 писал(а):

Останется под синусом бесконечное число бесконечно малых слагаемых, тоесть неопределенность.

Никакая не неопределённость -- первое из оставшихся слагаемых главнее суммы всех остальных.

[ИСН]

По первому у меня пропало желание что-то говорить, потому что там действительно надо аккуратно, а то с интегрируемостью/дифференцируемостью возникают всякие хреновые заморочки.
По второму: бесконечно малых чисел не бывает. Под синусом ряд из вполне конкретных малых чисел. Ряд сойдётся. Сойдётся не к нулю и не к целому. Но можно оценить сумму ряда, а там и её синус. И тогда сделать некие выводы про ряд синусов.

[ewert]

ИСН в сообщении #373467 писал(а):

Сойдётся не к нулю и не к целому.

Ну, может и так, и даже скорее всего, но вот так сразу мне это не очевидно.

[paha]

Klekota в сообщении #373335 писал(а):

Предположим, что для любой дифференцируемой $g:[a;b]\rightarrow R $

по всей вероятности имелось ввиду непрерывно дифференцируемой, иначе задачка превращается во

ИСН в сообщении #373467 писал(а):

всякие хреновые заморочки

кажется, достаточно, чтобы $g$ была многочленом (тригонометрическим многочленом)