Про странный способ изложения в математических книгах

[AlexandreII]

Уже не в первый раз замечаю, что в математических книгах материал излагается очень странным способом: сначала немотивированные определения, а потом теоремы. Логически конечно все прекрасно, но никак не понятно, как же это смогли получить.

Простой пример, чтобы голословно не рассуждать:
Постников. Теория Галуа, Факториал Пресс, 2003 год - книжка недавняя, так что методически все должно быть хорошо.

Сначала пишут "разрешимой группой называется: ...."
Потом "Теорема: полиномиальное уравнение тогда и только тогда разрешимо в радикалах, когда его группа Галуа разрешима".

Логически все прекрасно, одно вытекает из другого, все строго.
Но для читателя, впервые читающего про группы Галуа определение выглядит упавшим с потолка, непонятно, почему именно так надо определять разрешимую группу.
Я, конечно, не знаю точно, как рассуждали Галуа, Кронекер и другие, но я никогда не поверю, что Галуа сидел и решил от нечего делать: а не посмотреть ли мне группу, имеющую ряд нормальных делителей; а чтобы совсем было сложно, потребую-ка я, чтобы все факторы были абелевы, ну так, ради прикола; так-так, что тут у нас? ничего себе!!! так такие группы оказывается соответствуют уравнениям, решающимся в радикалах!!! а!!! срочно опубликовать!!!

Я это к чему, можно излагать по-другому: можно взять полиномиальное уравнение и прямо вывести, что если оно разрешимо в радикалах, то должен быть нормальный ряд и все факторы абелевы. А потом назвать эту группу разрешимой и доказать в обратную сторону. Я проделывал это сам, вручную, именно в таком порядке и "открыл" для себя интересную вещь: для обратного доказательства факторы должны быть циклическими, а не просто абелевыми. Естественно, это верно для конечных групп и появляется лемма, необходимость которой очевидна. Читатель понимает, ЗАЧЕМ делаются именно такие шаги и даются такие определения.

Другой пример: в теории чисел рассматриваются поля $Q(\sqrt{N})$, дискриминантом называется $d_k = N$, если $N = 1 \mod 4$ и $d_k = 4N$для других $N$. Кто-нибудь сразу понял, почему так? Для меня, в моей жизни, дискриминант впервые появился в квадратных уравнениях, потом как произведение квадратов разностей корней (и я понимаю, почему именно так, а не иначе). Я могу понять, что $Q(\sqrt{N})$ получается добавлением $\sqrt{N}$, который есть корень уравнения $x^2 - N = 0$. Дискриминант этого квадратного уравнения $D = 4N$. Но зачем нам надо отбрасывать 4 если $N = 1 \mod 4$? Определение с потолка.

С двумя примерами выше вроде удалось все понять, но на чем я конкретно застрял: это когомологии Галуа. Книжки есть, определения и теоремы в них вроде тоже можно понять, если переписать доказательство вручную, более подробно, чтобы точно понять каждый шаг.
Но вот что меня просто убивает: я не понимаю, какие мотивации были так извращаться с группами и определять коциклы на группах? Из каких вообще задач такое могло возникнуть? Как вообще до этого додумались?

Почему в математике сложилось такое положение дел, что определения и теоремы абсолютно немотивированы, где найти те единичные книги (напр. я знаю Арнольда), в которых вскрываются мотивации определений и теорем?

[Padawan]

Это делается с целью экономии места. Если доказательство теоремы разобрал, то вот тебе и мотивация определения -- в доказательстве было использовано то-то то-то и то-то.

[Black_Evg]

Такое положение сложилось не только в математике. Эйлер, например, возмущался тем, как Ньютон излагает свое решение, и зачем он входит в никому не нужные детали, затеняя главное. Говорят, что мы сегодня изучаем механику именно в изложении Эйлера.

Ландау пошел еще дальше, в своем курсе "Механика" он ни разу (!) не упомянул Ньютона. Вся излагаемая им механика основана на решении функционала. Но природа не может руководствоваться этим правилом, для того чтобы им руководствоваться, каждая частица должна опросить всех других "каков будет результат нашего общего взаимодействия, не нарушим ли мы минимум функционала".

Современное изложение механики совершенно не отражает "историзма", не показывает нам как рождалось решение. В результате живой и бесконечно интересный материал о том, как устроена природа, превратился в сухой набор математических операторов.

[AlexandreII]

Цитата:

в доказательстве было использовано то-то то-то и то-то

Например, в когомологиях я никак не дойду до того места, где используются все определения. Я вообще никак не дойду до того места, где применяются сами эти когомологии. Во всех книжках написано, что это один из самых мощных и плодотворных инструментов, но то, что я вижу, всегда выглядит так:

Теорема. то-то и то-то...
Примечание: в когомологических терминах это записывается так-то и так-то.

Создается очень нехорошее впечатление, что это просто способ записи такой.
Наподобие того, как раньше писали "...cubum autem in duos cubos...", а сейчас $x^3 + y^3 = z^3$.

-- Пт окт 15, 2010 12:59:44 --

to Black_Evg

я, конечно, не механик-профессионал, но в процессе учебы у меня создалось впечатление, что в механике не все так плохо. Конечно, есть "философия", но это как аксиомы в математике: все взяты из реальной жизни.

Все-таки уравнение теплопроводности и волновое нам выводили с помощью разбиения тела, перехода к бесконечно малым и т.д., применением законов, а не просто сказали: вот оно описывает волны

[Sonic86]

AlexandreII
Ищите более простые книги по темам. Там написана мотивация и основные моменты. А затем уже переходите к таким, более общим, каноническим. В таких книгах лучше видеть обобщения, поэтому их и пишут.

[maxal]

Этот "странный" метод изложения обычно называется дедуктивным (от общего к частному), когда теория излагается сразу во всей общности, а потом уже иллюстрируется конкретными примерами или приложениями.
В противовес ему существует индуктивный метод изложения (от частного к общему), когда изложение начинается с простых, затем усложняющихся частных случаев и примеров, постепенно подводя читателя к общей теории.

Индуктивный метод лучше описывает способ открытия, но его результат обычно менее компактен и строен чем в случае использования дедуктивного метода изложения, поэтому предпочтение чаще отдают именно дедуктивному методу.

P.S. Тут уместно вспомнить статью
П. Халмош. Как писать математические тексты. УМН, 26:5(161) (1971), 243–269.

[Ashley]

Цитата:

где найти те единичные книги (напр. я знаю Арнольда), в которых вскрываются мотивации определений и теорем?

удваиваю этот вопрос

[Виктор Викторов]

Ashley в сообщении #362743 писал(а):

Цитата:

где найти те единичные книги (напр. я знаю Арнольда), в которых вскрываются мотивации определений и теорем?

удваиваю этот вопрос

Искать подобные книги приходится самим. Другого выхода нет. Но вопросы по конкретным определениям можно задавать на сайте. Иногда за это бьют, но суть почти всегда удается выяснить. В книгах об этой сути или не пишут или пишут весьма редко. Вот несколько вопросов ответы на которые валяются не на каждом углу:
1. Почему нельзя делить на ноль?
2. Откуда взялись аксиомы топологического пространства? (Кто-то заметил свойства открытых множеств на числовой прямой).
3. А почему в определении непрерывности говорят о том, что полный прообраз каждого открытого множества открыт? А я хочу наоборот. Пусть образ каждого открытого множества будет открыт! (Номер не пройдет. Но почему?)
4. А почему в определении индуцированной топологии открытым определяется каждое множество, пересекающееся с открытым множеством в объемлющем пространстве? Уж лучше было бы считать открытым каждое множество открытое в объемлющем пространстве.
4. А чем заслужило такое внимание число $e$?
5. Кому понадобилось понятие "компактность"? Вам что лень на числовой прямой говорить про множество, что оно замкнуто и ограничено?

[ewert]

Виктор Викторов в сообщении #362780 писал(а):

1. Почему нельзя делить на ноль?

Потому что низзя.

Виктор Викторов в сообщении #362780 писал(а):

2. Откуда взялись аксиомы топологического пространства? (Кто-то заметил свойства открытых множеств на числовой прямой).

Нет, тут дело не в тамошних открытых множествах. А в обобщении всевозможных вариантов предельных переходов. Коих набирается уж как-то безумно много, и все как-то подозрительно схожи.

Виктор Викторов в сообщении #362780 писал(а):

3. А почему в определении непрерывности говорят о том, что полный прообраз каждого открытого множества открыт? А я хочу наоборот.

Красиво жить -- не запретишь. Но: будет ли эта красивость ещё и полезна?...

Виктор Викторов в сообщении #362780 писал(а):

4. А чем заслужило такое внимание число $e$?

Ну это вообще тривиально: потому, что производная именно от $e^x$ равна самой функции, а не по какому-то там другому основанию.

Виктор Викторов в сообщении #362780 писал(а):

5. Кому понадобилось понятие "компактность"? Вам что лень на числовой прямой говорить про множество замкнуто и ограничено?

А нам замкнутость вкупе с ограниченностью даже и вовсе неинтересны. А вот "секвенциальная компактность" -- штука весьма принципиальная для разных там теорем существования (в заведомом отсутствии единственности).

Ну и т.д.

[AlexandreII]

О, про число e я много чего могу рассказать. Вот слушайте:
1. Сначала придумали заменить умножение на сложение. Ну компьютеров не было, умножать столбиком долго, складывать проще. Идея простая, пусть есть таблица степеней двойки: $2^1 = 2, 2^2 = 4, 2^3 = 8, 2^4 = 16, ... 2^{10} = 1024$. Имея такую таблицу, перемножить 2^4*2^6 проще простого, сложи 4+6=10 и посмотри степень в таблицы. Это намек на логарифмы.
Почему 2 в качестве основания плохо? Много дырок, числа 3, 5, 7 и т .д. в таблице отсутствуют.
Надо взять число близко к 1, напр. 1,01 или 1,0001, тогда при натуральных степенях число растет не так быстро и больше нужных чисел попадает. Правда для обычных чисел в пределах первого десятка степени могут быть очень большими, миллионы напр. Тогда придумали эти степени сокращать, если 1 + 1 милионная возводится, то степень делили на миллион и т.д. Такие логарифмы называли натуральными, потому что степени были натуральными (до сокращения). Тем кто знает анализ, очевидно, что это приводит к второму замечательному пределу и основанию = e.
2. е появляется в самых неожиданных местах: $y'=y$ => $y = e^x$, $e^{\pi i} = 1$.
3. e является естественным пределом в задачах на сложные проценты. Предположим, банк дает 100% годовых. Он может начислить 1 раз 100% в конце года, а может 100/12% 12 раз в год а может еще чаще. Вопрос: будет ли бесконечно расти сумма? Нет, 2,718...- это предел роста
4. И наконец самое важное: e описывает год рождения Льва Толстого (1828) 2,718281828....

[Виктор Викторов]

ewert в сообщении #362789 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #362780 писал(а):

1. Почему нельзя делить на ноль?

Потому что низзя.

А я хочу делить на ноль! Но нельзя. И есть точная причина. Деление -- обратное действие к умножению. Попробуйте (учитывая это) поделить пять на ноль. Тогда результат, умноженный на ноль, должен дать пять!!

ewert в сообщении #362789 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #362780 писал(а):

2. Откуда взялись аксиомы топологического пространства? (Кто-то заметил свойства открытых множеств на числовой прямой).

Нет, тут дело не в тамошних открытых множествах. А в обобщении всевозможных вариантов предельных переходов. Коих набирается уж как-то безумно много, и все как-то подозрительно схожи.

Нет. Позвольте Вам не позволить. В пятом классе детки кричат: "Марьванна с концами или без концов?". И деткам и взрослым: Вот вам свойства открытых множеств. И уже потом в своём кругу: А теперь объявим эти свойства аксиомами для некоторого множества и назовем такое множество топологическим пространством.

ewert в сообщении #362789 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #362780 писал(а):

3. А почему в определении непрерывности говорят о том, что полный прообраз каждого открытого множества открыт? А я хочу наоборот.

Красиво жить -- не запретишь. Но: будет ли эта красивость ещё и полезна?...

Нет не будет! Полный прообраз топологии -- топология, а образ топологии может и не быть топологией.

ewert в сообщении #362789 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #362780 писал(а):

4. А чем заслужило такое внимание число $e$?

Ну это вообще тривиально: потому, что производная именно от $e^x$ равна самой функции, а не по какому-то там другому основанию.

Конечно, но только не забывайте, что это для Вас тривиально.

ewert в сообщении #362789 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #362780 писал(а):

5. Кому понадобилось понятие "компактность"? Вам что лень на числовой прямой говорить про множество замкнуто и ограничено?

А нам замкнутость вкупе с ограниченностью даже и вовсе неинтересны. А вот "секвенциальная компактность" -- штука весьма принципиальная для разных там теорем существования (в заведомом отсутствии единственности).

Это ещё почему "вовсе неинтересны"? Никогда не забуду как уже казалось бы опытные студенты старших курсов, отвечая на этот вопрос выдали: "Знаете там в функционалах...". Здесь на числовой прямой "замкнутость вкупе с ограниченностью" множества равносильна тому, что из каждого открытого покрытия этого множества можно выделить открытое подпокрытие и ... метрическое понятие "ограниченность" исчезло. Можно определять компактность в топологическом пространстве.

Ну и т.д.

[ewert]

AlexandreII в сообщении #362797 писал(а):

4. И наконец самое важное: e описывает год рождения Льва Толстого (1828) 2,718281828....

Вот это -- единственно, что содержательно. Студенты этому обычно радуются.

-- Сб окт 16, 2010 22:29:10 --

(Оффтоп)

Виктор Викторов в сообщении #362800 писал(а):

В пятом классе детки кричат: "Марьванна с концами или без концов?".

Так уж и в пятом?... по-моему, это случается всё-таки несколько позже

Виктор Викторов в сообщении #362800 писал(а):

не забывайте, что это для Вас тривиально

не только; и для моих студентов -- тоже (во всяком случае, я на это надеюсь)

[Виктор Викторов]

ewert в сообщении #362801 писал(а):

AlexandreII в сообщении #362797 писал(а):

4. И наконец самое важное: e описывает год рождения Льва Толстого (1828) 2,718281828....

Вот это -- единственно, что содержательно. Студенты этому обычно радуются.

А радовался ли Лев Толстой?

[AlexandreII]

Цитата:

4. И наконец самое важное: e описывает год рождения Льва Толстого (1828) 2,718281828....

Вот это -- единственно, что содержательно. Студенты этому обычно радуются.

Была у нас такая шутка: люди делятся на 2 класса эквивалентности: первые запоминают год рождения Толстого с помощью числа e, другие - число e с помощью года рождения Толстого

[ewert]

Виктор Викторов в сообщении #362804 писал(а):

А радовался ли Лев Толстой?

А его никто об этом и не спрашивал. Студенты же -- люди обыкновенно разумные (пусть даже и не всегда умные). И подобные матшуточки -- вполне воспринимают.