Гладкое топологическое многообразие

[maxmatem]

Вот , надо доказать, что $P^{2}$-двумерное проективное пространство, является гладким топологическим многообразием.
Я приведу о то определение которым я пользуюсь.
Опр:Гладким $n$-мерным топологическим многообразием называется хаусдорфово топологическое пространство , покрытое счётным числом открытых множеств $U_{1}$,$U_{2}$,... обладающие следующими свойствами:
1.Для каждого $U_{i}$ имеется гомеоморфизм $f_{i}$, так что $\[f_i :U_i \to V_i \]$, где $V_{i}$-область в $R^{n}$
2. Если$ \[U_i \cap U_j \ne \emptyset \]$,то гомеоморфизм
$\[f_{ji} = f_j \circ f_i^{ - 1} \]$ является диффеоморфизмом.

Ну так вот, будем рассматривать ,что $P^{2}$ получается из $S^{2}$-двумерной сферы, отождествлением диаметрально противоположных точек на сфере. Итак точка
$\[p \in P^2 \,\,\,p = (p_1 ;p_2 ^{} );p_1 ,p_2 \in S^2 \]$. Теперь рассмотрим на $S^{2}$
открытый круг $U_{1}$ c центром в точке $p_{1}$, и открытый круг $U_{2}$ c центром в точке $p_{2}$, точки которого диаметрально противоположны точкам круга $U_{1}$. Назовём окрестностью
точки $\[p \in P^2 \]$ -совокупность пар точек, лежащих внутри пар $U_{1}$ и $U_{2}$.
естественно объявить открытыми множествами в $P^{2}$, те которые содержат окрестности, которые выше были построены.
Проблема возникла именно в доказательстве гладкости многообразия, так как доказать что данное пространство -топологическое и хаусдорфово , не составило проблем.
Мне надо построить те самые гомеоморфизмы о которых сказано в 1.пункте опр. Я как понял за $U_{i}$ надо взять окрестность точки $\[p_i \in P^2 \]$ а какое можно взять $V_{i}$, может взять какой-нибудь открытый круг на сфере?
ну вот такие проблемы......что посоветуете ?

[Padawan]

Ввести координаты в круге $U_1$ каким-нибудь хорошим способом. Например, два угла -- угол отклонения точки от центра $U_1$ и угол поворота от какого-то радиуса (дуги на сфере). Дальше проверить выполнение условия 2.

[terminator-II]

Введем однородные координаты $(x,y,z)$.
Покроем проективную плоскость картами:
$U_1=\{(x,y,1)\},\quad U_2=\{(x,1,z)\},\quad U_3=\{(1,y,z)\}$
ищем функции склейки
вот я сейчас формулы пописал, может надо ввести больше карт типа $U_1^+=\{(x,y,1)\mid y>0\}$ и т.д. Разбирайтесь.

[maxmatem]

Я вот хотел уточнить про радиусы этих открытых кругов, они могут быть произвольными?
Padawan я не совсем понял, что тогда будет множеством $V$ в вашем предложении? а нельзя по-проще...?

-- Вс сен 12, 2010 17:39:20 --

terminator-II
Мы вводим эти координаты для точек $P^{2}$ на сфере ? я про функции склейки не знаю, где можно почитать?

[terminator-II]

maxmatem в сообщении #351619 писал(а):

Мы вводим эти координаты для точек $P^{2}$ на сфере ?

$P^2$ аналитически легче определять проективную плоскость с помощью однородных координат.

Проективной плоскостью называется множество наборов $(x,y,z)\in \mathbb{R}^3\backslash\{0\}$ и считается, что $(x,y,z)$ и $(x',y',z')$ задают одну и туже точку на проективной плоскости если при некотором $\lambda\ne 0$ будет $(x,y,z)=\lambda (x',y',z')$. Убедитесь, что это эквивалентно определению, которое Вам давали

Читайте: Ефимов Розендорн Линейная алгебра и многомерная геометрия. В Дубровине Новикове Фоменко, вроде, тоже однородные координаты обсуждаются

[maxmatem]

Цитата:

Убедитесь, что это эквивалентно определению, которое Вам давали

Ч\з такое определение , у меня есть доказательство, просто хотел более геометрическое, вот обратился к киге А.Уоллеса "Дифференциальная топология", а там это сформулировано в виде задачи, которую я и пытаюсь решить, с тем чтобы потом обобщить на случай $P^{n}$.

[terminator-II]

maxmatem в сообщении #351619 писал(а):

я про функции склейки не знаю, где можно почитать?

вот это

maxmatem в сообщении #351599 писал(а):

$\[f_{ji}\]$

функции склейки

[maxmatem]

а тогда ясно.

Цитата:

Покроем проективную плоскость картами:
$U_1=\{(x,y,1)\},\quad U_2=\{(x,1,z)\},\quad U_3=\{(1,y,z)\}$

картой же обзывается пара $(U_{i};f_{i})$? где $f_{i}$-картирующие отображение. Как его найти?

[Padawan]

maxmatem
Да, я плохие координаты предложил. Надо тогда радиус выкидывать, от которого угол отсчитываем. Лучше делайте, как terminator-II сказал.

[Null]

$f_1((x,y,1))=(x,y)$
$f_2((x,1,z)=(x,z)$
$f_3((1,y,z))=(y,z)$

[maxmatem]

Null

А вы увeрeны, что $\[ \bigcup\limits_{i = 1}^3 {U_i } = P^2 \] $ ?
гдe

Цитата:

Покроем проективную плоскость картами:
$U_1=\{(x,y,1)\},\quad U_2=\{(x,1,z)\},\quad U_3=\{(1,y,z)\}$

[Null]

Да. (x,y,z)=(x/z,y/z,1) если $z\neq0$ а хоть одна координата нулю не равна

[maxmatem]

Значит можно задать $\[ \begin{gathered} (U_1 ;f_1 ),(U_2 ;f_2 ),(U_3 ;f_3 ) \hfill \\ U_1 = \left( {\frac{x} {z};\frac{y} {z};1} \right);U_2 = \left( {\frac{x} {y};1;\frac{z} {y}} \right);U_1 = \left( {1;\frac{y} {x};\frac{z} {x}} \right) \hfill \\ f_1 \left( {\frac{x} {z};\frac{y} {z};1} \right) = \left( {\frac{x} {z};\frac{y} {z}} \right) \hfill \\ f_2 \left( {\frac{x} {y};1;\frac{z} {y}} \right) = \left( {\frac{x} {y};\frac{z} {y}} \right) \hfill \\ f_3 \left( {1;\frac{y} {x};\frac{z} {x}} \right) = \left( {\frac{y} {x};\frac{z} {x}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \] $
я правильно понял, что точка в $P^{2}$ имеет три координаты? Кстати вот эти картирующие отображения устанавливают гомеоморфизм между $P^{2}$ и плоскостью $R^{2}$ ?

[terminator-II]

Пусть в первой карте точка имеет координаты $(x,y,1)$ а во второй карте таже точка имеет координаты
$(x',1,z')$ это значит, что $(x,y,1)=\lambda (x',1,z')$
Отсюда функция склейки:

$$z'=\frac{1}{y}\quad x'=\frac{x}{y}$$

-- Sun Sep 12, 2010 21:45:50 --

maxmatem в сообщении #351712 писал(а):

я правильно понял, что точка в $P^{2}$ имеет три координаты? Кстати вот эти картирующие отображения устанавливают гомеоморфизм между $P^{2}$ и плоскостью $R^{2}$ ?

нет, читайте выше, я давал определение проективной плоскости через однородные координаты

[maxmatem]

ну так что я написал, будут являться функциями склейки?