2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Гладкое топологическое многообразие
Сообщение12.09.2010, 16:01 
Аватара пользователя


15/08/09
1458
МГУ
Вот , надо доказать, что $P^{2}$-двумерное проективное пространство, является гладким топологическим многообразием.
Я приведу о то определение которым я пользуюсь.
Опр:Гладким $n$-мерным топологическим многообразием называется хаусдорфово топологическое пространство , покрытое счётным числом открытых множеств $U_{1}$,$U_{2}$,... обладающие следующими свойствами:
1.Для каждого $U_{i}$ имеется гомеоморфизм $f_{i}$, так что $\[f_i :U_i  \to V_i \]$, где $V_{i}$-область в $R^{n}$
2. Если$ \[U_i  \cap U_j  \ne \emptyset \]$,то гомеоморфизм
$\[f_{ji}  = f_j  \circ f_i^{ - 1} \]$ является диффеоморфизмом.

Ну так вот, будем рассматривать ,что $P^{2}$ получается из $S^{2}$-двумерной сферы, отождествлением диаметрально противоположных точек на сфере. Итак точка
$\[p \in P^2 \,\,\,p = (p_1 ;p_2 ^{} );p_1 ,p_2  \in S^2 \]$. Теперь рассмотрим на $S^{2}$
открытый круг $U_{1}$ c центром в точке $p_{1}$, и открытый круг $U_{2}$ c центром в точке $p_{2}$, точки которого диаметрально противоположны точкам круга $U_{1}$. Назовём окрестностью
точки $\[p \in P^2 \]$ -совокупность пар точек, лежащих внутри пар $U_{1}$ и $U_{2}$.
естественно объявить открытыми множествами в $P^{2}$, те которые содержат окрестности, которые выше были построены.
Проблема возникла именно в доказательстве гладкости многообразия, так как доказать что данное пространство -топологическое и хаусдорфово , не составило проблем.
Мне надо построить те самые гомеоморфизмы о которых сказано в 1.пункте опр. Я как понял за $U_{i}$ надо взять окрестность точки $\[p_i  \in P^2 \]$ а какое можно взять $V_{i}$, может взять какой-нибудь открытый круг на сфере?
ну вот такие проблемы......что посоветуете ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гладкое топологическое многообразие
Сообщение12.09.2010, 16:33 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Ввести координаты в круге $U_1$ каким-нибудь хорошим способом. Например, два угла -- угол отклонения точки от центра $U_1$ и угол поворота от какого-то радиуса (дуги на сфере). Дальше проверить выполнение условия 2.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гладкое топологическое многообразие
Сообщение12.09.2010, 16:35 


20/04/09
1067
Введем однородные координаты $(x,y,z)$.
Покроем проективную плоскость картами:
$U_1=\{(x,y,1)\},\quad U_2=\{(x,1,z)\},\quad U_3=\{(1,y,z)\}$
ищем функции склейки
вот я сейчас формулы пописал, может надо ввести больше карт типа $U_1^+=\{(x,y,1)\mid y>0\}$ и т.д. Разбирайтесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гладкое топологическое многообразие
Сообщение12.09.2010, 16:37 
Аватара пользователя


15/08/09
1458
МГУ
Я вот хотел уточнить про радиусы этих открытых кругов, они могут быть произвольными?
Padawan я не совсем понял, что тогда будет множеством $V$ в вашем предложении? а нельзя по-проще...?

-- Вс сен 12, 2010 17:39:20 --

terminator-II
Мы вводим эти координаты для точек $P^{2}$ на сфере ? я про функции склейки не знаю, где можно почитать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гладкое топологическое многообразие
Сообщение12.09.2010, 16:45 


20/04/09
1067
maxmatem в сообщении #351619 писал(а):
Мы вводим эти координаты для точек $P^{2}$ на сфере ?

$P^2$ аналитически легче определять проективную плоскость с помощью однородных координат.

Проективной плоскостью называется множество наборов $(x,y,z)\in \mathbb{R}^3\backslash\{0\}$ и считается, что $(x,y,z)$ и $(x',y',z')$ задают одну и туже точку на проективной плоскости если при некотором $\lambda\ne 0$ будет $(x,y,z)=\lambda (x',y',z')$. Убедитесь, что это эквивалентно определению, которое Вам давали

Читайте: Ефимов Розендорн Линейная алгебра и многомерная геометрия. В Дубровине Новикове Фоменко, вроде, тоже однородные координаты обсуждаются

 Профиль  
                  
 
 Re: Гладкое топологическое многообразие
Сообщение12.09.2010, 16:53 
Аватара пользователя


15/08/09
1458
МГУ
Цитата:
Убедитесь, что это эквивалентно определению, которое Вам давали

Ч\з такое определение , у меня есть доказательство, просто хотел более геометрическое, вот обратился к киге А.Уоллеса "Дифференциальная топология", а там это сформулировано в виде задачи, которую я и пытаюсь решить, с тем чтобы потом обобщить на случай $P^{n}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гладкое топологическое многообразие
Сообщение12.09.2010, 17:09 


20/04/09
1067
maxmatem в сообщении #351619 писал(а):
я про функции склейки не знаю, где можно почитать?

вот это
maxmatem в сообщении #351599 писал(а):
$\[f_{ji}\]$

функции склейки

 Профиль  
                  
 
 Re: Гладкое топологическое многообразие
Сообщение12.09.2010, 17:16 
Аватара пользователя


15/08/09
1458
МГУ
а тогда ясно.
Цитата:
Покроем проективную плоскость картами:
$U_1=\{(x,y,1)\},\quad U_2=\{(x,1,z)\},\quad U_3=\{(1,y,z)\}$

картой же обзывается пара $(U_{i};f_{i})$? где $f_{i}$-картирующие отображение. Как его найти?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гладкое топологическое многообразие
Сообщение12.09.2010, 17:31 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
maxmatem
Да, я плохие координаты предложил. Надо тогда радиус выкидывать, от которого угол отсчитываем. Лучше делайте, как terminator-II сказал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гладкое топологическое многообразие
Сообщение12.09.2010, 17:37 
Заслуженный участник


12/08/10
1609
$f_1((x,y,1))=(x,y)$
$f_2((x,1,z)=(x,z)$
$f_3((1,y,z))=(y,z)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Гладкое топологическое многообразие
Сообщение12.09.2010, 20:26 
Аватара пользователя


15/08/09
1458
МГУ
Null

А вы увeрeны, что $\[
\bigcup\limits_{i = 1}^3 {U_i }  = P^2 
\]
$ ?
гдe
Цитата:
Покроем проективную плоскость картами:
$U_1=\{(x,y,1)\},\quad U_2=\{(x,1,z)\},\quad U_3=\{(1,y,z)\}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Гладкое топологическое многообразие
Сообщение12.09.2010, 20:30 
Заслуженный участник


12/08/10
1609
Да. (x,y,z)=(x/z,y/z,1) если $z\neq0$ а хоть одна координата нулю не равна

 Профиль  
                  
 
 Re: Гладкое топологическое многообразие
Сообщение12.09.2010, 20:39 
Аватара пользователя


15/08/09
1458
МГУ
Значит можно задать $\[
\begin{gathered}
  (U_1 ;f_1 ),(U_2 ;f_2 ),(U_3 ;f_3 ) \hfill \\
  U_1  = \left( {\frac{x}
{z};\frac{y}
{z};1} \right);U_2  = \left( {\frac{x}
{y};1;\frac{z}
{y}} \right);U_1  = \left( {1;\frac{y}
{x};\frac{z}
{x}} \right) \hfill \\
  f_1 \left( {\frac{x}
{z};\frac{y}
{z};1} \right) = \left( {\frac{x}
{z};\frac{y}
{z}} \right) \hfill \\
  f_2 \left( {\frac{x}
{y};1;\frac{z}
{y}} \right) = \left( {\frac{x}
{y};\frac{z}
{y}} \right) \hfill \\
  f_3 \left( {1;\frac{y}
{x};\frac{z}
{x}} \right) = \left( {\frac{y}
{x};\frac{z}
{x}} \right) \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]
$
я правильно понял, что точка в $P^{2}$ имеет три координаты? Кстати вот эти картирующие отображения устанавливают гомеоморфизм между $P^{2}$ и плоскостью $R^{2}$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гладкое топологическое многообразие
Сообщение12.09.2010, 20:44 


20/04/09
1067
Пусть в первой карте точка имеет координаты $(x,y,1)$ а во второй карте таже точка имеет координаты
$(x',1,z')$ это значит, что $(x,y,1)=\lambda (x',1,z')$
Отсюда функция склейки:
$$z'=\frac{1}{y}\quad x'=\frac{x}{y}$$

-- Sun Sep 12, 2010 21:45:50 --

maxmatem в сообщении #351712 писал(а):
я правильно понял, что точка в $P^{2}$ имеет три координаты? Кстати вот эти картирующие отображения устанавливают гомеоморфизм между $P^{2}$ и плоскостью $R^{2}$ ?

нет, читайте выше, я давал определение проективной плоскости через однородные координаты

 Профиль  
                  
 
 Re: Гладкое топологическое многообразие
Сообщение12.09.2010, 20:47 
Аватара пользователя


15/08/09
1458
МГУ
ну так что я написал, будут являться функциями склейки?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group