Не числовые матрицы

[arh123]

Уважаемы форумчане, подскажите пожалуйста, существуют ли матрицы, элементами которых являются не числа, а какие-либо другие математические объекты, и если существуют, то где применяются?

[maxmatem]

Их очень много, а область применения очень большая. Ну например матрица Якоби и т.д, или вот такая матрица
$\[ A = \left( {\begin{array}{*{20}c} {\cos x} & { - \sin x} \\ {\sin x} & {\cos x} \\ \end{array} } \right) \] $
А лучше почитайте книгу Гантенмахера "Теория матриц"

[arh123]

Спасибо за ссылку на Гантмахера. Я изначально не совсем верно сформулировал вопрос. У Гантмахера элементы матрицы - элементы числового поля. Я так понимаю, что в данном контексте функции, производные функциий и т.п. рассматриваются как нечто вроде операций над числовым полем. Ну а есть ли матрицы из элементов принадлежащих не числовым поля (и, наверно, не векторным, векторы тоже в матрицах видел). Ну, например, матрица квадратных матриц размера n. В таком случае, наверно, даже определитель можно посчитать.

[paha]

Никто не мешает взять произвольное кольцо $R$ и изучать алгебру матриц размера $n\times n$ над $R$. Сложение и умножение определяются очевидным образом.

Подумайте, как посчитать "определитель", если основное кольцо некоммутативно.

[arh123]

Да, на счет некоммутативности как то не подумал. Самые простые свойста определителей не выполняются, что, вероятно, сводит на нет всю ценность таких матриц, коли такая вдруг имеется. Но, наверно, ни что не мешает рассмотреть и вариант с некоммутативным кольцо. Ну, я так понимаю, ни кто серьезно такие алгебры матриц не изучал.

[Yu_K]

topic17192.html - есть такой пример использования нечисловых матриц. И скорее всего надо писать слитно - "нечисловые".

[AD]

Вот, скажем, возьмем любую матрицу, и запишем теорему Гамильтона-Кели: Если $f(\lambda)=\det(A-\lambda\mathbf{1})$, то $f(A)=0$. В этом месте обычно студентам задают детский вопрос: а почему, собственно, эта теорема не доказывается в одну строчку равенством $A-A\mathbf{1}=0$? Ответ обычно приходит с пониманием того, что в теореме, фактически, речь идёт об определителе матрицы, составленной из ... матриц

[arh123]

Благодарю за ответы. Матрица смежности, фактически, является числовой матрицей, т.к. все ее элементы - числа, пусть за ними и стоят вершины графа. Про теорему Гамильтона-Кели не совсем понял. По моему, тут точнее будет сказать что матрица состоит из элементов других матриц, пусть и в таком же порядке расположения в ней. Я же имел в виду матрицу, элементами которой будут матрицы, и если найти "определитель" такой матрицы, получим снова матрицу.

[AD]

arh123 в сообщении #350799 писал(а):

получим снова матрицу.

Ну так. Матрицу и получили. $f(A)$ есть матрица, являющаяся определителем ;)

[arh123]

Ой, кажется, понял, большое спасибо.

[green5]

Определитель определителей это гдето Додгсона/Мюри формулы. При чем тут теорема Гамильтона-Кели?

[AD]

green5, одно другому не мешает

[arh123]

А нельзя ли ссылочку на эти формулы, а то гугление ничего не дало?

[mkot]

arh123 в сообщении #350646 писал(а):

Уважаемы форумчане, подскажите пожалуйста, существуют ли матрицы, элементами которых являются не числа, а какие-либо другие математические объекты, и если существуют, то где применяются?

Ну сначала определим матрицу как отображение из $1..N \times 1..M$ в множесво $X$. Что здесь надо от $X$? Ничего. Множество произвольной природы. Такие матрицы уже можно транспонировать.
А дальше... Вот захотели мы складывать матрицы по обычной формуле. Значит нам нужно чтоб на $X$ была определена операция сложения. Захотели ещё умножать -- ещё понадобится и умножение. И т. д. всегда можно проследить, что нам потребуется от $X$ для выполнения тех или иных свойств матричных операций.

-- Сб сен 11, 2010 00:16:34 --

paha в сообщении #350669 писал(а):

Подумайте, как посчитать "определитель", если основное кольцо некоммутативно.

А что не даст сделать отсутствие коммутативности? Ассоциативность, да, нужна. Даже специально линейную алгебру Мальцева открыл, он там отмечает, что кольцо не обязательно должно быть коммутативным для определения определителя.

[green5]

http://en.wikipedia.org/wiki/Dodgson_condensation
google: Muir Determinant
http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/m ... otime.html

Не мешает но и не связано с К&Г