Насчёт
![$b_n$ $b_n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/5/935aab151b542081e51a21ca914e3be682.png)
я в первом посту ничего не нашёл. Однако, пусть мы находимся уже вблизи предела (который равен
![$b^{2/3}$ $b^{2/3}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/1/1f157eed120c76929832336fbe4de11a82.png)
) (в моём первом посту доказана локальная сходимость), то
![$a_n=b^{2/3}(1+\epsilon )$ $a_n=b^{2/3}(1+\epsilon )$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/3/763143651bb4b0400c6430e186ccfc5b82.png)
. Подставим это выражение в формулу из первого поста -
![$a_{n+1}=b/{a_n}^{1/2}=b/(b^{1/3}(1+ \epsilon )^{1/2}))=b^{2/3}(1-\epsilon /2)$ $a_{n+1}=b/{a_n}^{1/2}=b/(b^{1/3}(1+ \epsilon )^{1/2}))=b^{2/3}(1-\epsilon /2)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/8/5/f85374a92ed37a33547247f5ab6fef4a82.png)
. Т.о. вблизи минимума имеем сходим со скоростью геометрической прогрессии с показателем
![$1/2$ $1/2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/d/d5d5564ce0bb9999695f32da6ba7af4282.png)
. Это сходимость последовательности не доказывает, что сделано в следующем посту. Но установили, что точка
![$b^{2/3}$ $b^{2/3}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/1/1f157eed120c76929832336fbe4de11a82.png)
притягивающая. Так вижу, что противоречие. Разберусь - напишу чуть позже.
-- Сб авг 21, 2010 21:30:07 --Во - первых
Но в условии задачи требовалось доказать глобальную сходимость. Она следует из того, что при
![$a_n>b^{2/3}$ $a_n>b^{2/3}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/a/8/ba888c64fe26e795b8f3f75bf987b74382.png)
выполнятся
![$a_{n+1}<a_n$ $a_{n+1}<a_n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/2/b/12b126aef1f717905887f691d47cab5d82.png)
, а при
![$a_n<b^{2/3}$ $a_n<b^{2/3}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/f/34f8a03677b9e2a6c92bfd406db1ca6f82.png)
выполняется
![$a_{n+1}>a_n$ $a_{n+1}>a_n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/5/9/75984414b51e6801c975a4c3ddcca67082.png)
. При этом у отображения
![$a_n\to a_{n+1}$ $a_n\to a_{n+1}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/3/293f0188e34d32e654f32b487858e09182.png)
лишь одна неподвижная точка -
![$b^{2/3}$ $b^{2/3}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/1/1f157eed120c76929832336fbe4de11a82.png)
.
- это не так. Но исправить можно, заменив тут
![$n+1$ $n+1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/1/3f18d8f60c110e865571bba5ba67dcc682.png)
на
![$n+2$ $n+2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/1/4/014ae02bf2b677c4c225a7dfd00b842082.png)
. Т.е. характер сходимости будет не монотонный, а колеблющийся.
-- Сб авг 21, 2010 21:43:09 --Во-вторых, мы не можем написать
![$a_{n+1}=ba_n^{-1/2}$ $a_{n+1}=ba_n^{-1/2}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/9/e29f9393175c7f6eb0a3ca58c709dff282.png)
. (Понял, что спрашивал
Padavan). Но допустим, это равенство верно с точностью до
![$\epsilon$ $\epsilon$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/c/c/7ccca27b5ccc533a2dd72dc6fa28ed8482.png)
, поделённую на специально подобранную константу.
-- Сб авг 21, 2010 21:47:46 --Т.е.
![$a_{n+1}=b/a_n^{1/2}+\epsilon /K$ $a_{n+1}=b/a_n^{1/2}+\epsilon /K$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/c/4/cc4b64438ecd8a99a0df76d564dd333382.png)
. Наверное, это решает проблему. Только надо подобрать
![$K$ $K$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/3/d6328eaebbcd5c358f426dbea4bdbf7082.png)
.