Доказать сходимость последовательности.

[Padawan]

Так то, конечно, интересно какую-нибудь общую теорему об "возмущенных итерациях" доказать. Т.е. есть итерационная последовательность $x_{n+1}=f(x_n)$ про которую известна, что она сходится к неподвижной точке $x_0=f(x_0)$ для всех начальных значений $x$ из некоторой области $U$. Теперь мы берем другую, "возмущенную", итерационную последовательность $x_{n+1}=f(x_n)+\varepsilon_n$, где $\varepsilon_n\to 0$. Что будет со сходимостью?

Если $U=\mathbb R$, то, наверное, сходимость будет. Хотя кто его знает... Надо, чтобы неподвижная точка притягивала к себе сильнее, чем сносит $\varepsilon_n$.

[мат-ламер]

Padawan в сообщении #346077 писал(а):

Надо, чтобы неподвижная точка притягивала к себе сильнее, чем сносит $\varepsilon_n$.

Мне тоже так кажется.

[Padawan]

Осталось только понять, что это значит :)

[мат-ламер]

У Адронова было понятие жёсткой динамической системы. Т.е. такой системы, малое изменение параметров которой не влияют на качественный характер её функционирования.

[Dandan]

по идее доказать можно как-то так:
$a_{n+1} = f_n(a_n), f_n(x) = b_n / \sqrt{x}, b_n \to b$. А дальше получить какую-то оценку $|a_{n+1} - b^{2/3}| < c(a_n,b_n)|a_n - b^{2/3}|$ (за счет свойств $f_n$), чтобы все вышло.