замкнутые неперерскающиеся множества на расстоянии 0

[ИСН]

А что там осталось-то?

[caxap]

И кстати, верно ли моё решение задачи, приведенной в первом сообщении темы?

По той же ссылке в оффтопе непонятки с Утверждением 2.

[Mathusic]

venco в сообщении #331342 писал(а):

Верно ли, что из бесконечной ограниченной последовательности $x_i \in \mathbb R^m$ всегда можно выделить сходящуюся подпоследовательность?
Мне кажется - верно, и тогда вариант gris-a не имеет решения.

Это верно и сразу следует из случая $\mathbb{R}^1$. А что за вариант gris-a?

[ИСН]

2 caxap: решение ошибочно, но об этом после. Что непонятно с утверждением 2?

[caxap]

Замыкание $\mathbb R^m$, то есть объеденение его со всеми его предельными точками, равно $\mathbb R^m$. Так? Ведь все точки (и предельные тоже) лежат в $\mathbb R^m$.

[ИСН]

Так. И что.

[caxap]

Есть теорема, что замыкание множества замкнуто. Объеденяя это с моим последним постом, заключаем, что $\mathbb R^m$ замкнуто. Но это не так.

(Есть другая, почти эквивалентная теорема: (F замкнуто в $\mathbb R^m$) $\iff$ ($F=\overline F$ в $\mathbb R^m$). И опять в случае $\mathbb R^m$ противоречие: $\mathbb R^m=\overline{\mathbb R^m}$, но $\mathbb R^m$ НЕ замкнуто, хотя стрелка в обе стороны в теореме.)

-- Вт июн 15, 2010 12:14:27 --

Может следует добавить $F\subsetneq \mathbb R^m$. Я посмотрел доказательство. Не очень понял его, но там для доказательстве выбирается точка $x\notin F$. В случае $F=\mathbb R^m$ такой точки не сущестует.

[ИСН]

Цитата:

- Мы с тобой шли?
- Шли.
- Кожух нашли?
- Нашли.
- Я тебе его дал?
- Кого?
- Кожух!
- Якой кожух?
- Ну мы с тобой шли?
- Шли...

Как понять, замкнуто ли множество? Что для этого нужно?

[caxap]

Нужно, чтобы дополнение было открыто.

[ИСН]

Что представляет из себя дополнение плоскости до той же плоскости? Открыто ли оно?

[caxap]

Дополнение -- $\varnothing$. Оно открыто.

P.S. В той теоремке, что я писал, через $\overline F$ обозначается не дополнение, а замыкание. Это я на всякий случай...

[ИСН]

(То я понял, да.)
Если оно открыто, значит, плоскость - что?

[caxap]

Так.... Мы вроде бы выяснили, что если множество открыто, то его дополнение может быть каким угодно, т. е. (замкнутость $F$) $\Rightarrow$ (открытость $C(F)$). Но, вообще говоря, не наоборот. В качестве примера, где в обратную сторону стрелка не работает: $\varnothing$ и $\mathbb R^m$, являющиеся открытыми. Не?

-- Вт июн 15, 2010 12:39:02 --

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #331467 писал(а):

Если оно открыто, значит, плоскость - что?

Хочется сказать замкнута, но я знаю, что плоскость открыта.

[ИСН]

Капля камень точит, they say.
Что такое замкнутость? Каково её определение?

[caxap]

Множество замкнуто, если его дополнение открыто.

Т. е. получается наоборот: (открытость $F$) $\Rightarrow$ (замкнутость $C(F)$). Но ( ) ведь с тем, что $\varnothing$ и $\mathbb R^m$ открыты вы согласились, что $\varnothing=C(\mathbb R^m)$ -- тоже. Что-то не сходится....