замкнутые неперерскающиеся множества на расстоянии 0

[ИСН]

Хорошо. (Правда, я предпочитаю формулировку со словами "граница множества", но один чёрт.) И что же можно сказать про прямую на плоскости? Чем она хуже... Нет, минуточку, а сама плоскость? Открыта она? Замкнута?

[caxap]

ИСН в сообщении #331392 писал(а):

а сама плоскость? Открыта она? Замкнута?

Плоскость открыта. Для любой точки есть окрестность, целиком лежащая в этой плоскости. Аналогично открыты вообще все $\mathbb R^m,\ \forall m$, по-моему. А вот, к примеру, отрезок $[a,b]$ замкнут, т.к. у граничных точек таких окрестностей, целиком лежащих в отрезке, нет.

[ИСН]

Кхм. Ну. Прям даже как-то...
Скажите, а как выглядела бы ситуация "плоскость замкнута"? Так было бы, если бы... что?

[Mathusic]

ewert в сообщении #331327 писал(а):

gris в сообщении #331239 писал(а):

Надо, чтобы множества было ограниченными.

Расстояние от компакта до замкнутого множества в случае их непересечения всегда ненулевое

Однако, gris компакта не требовал - только замкнутость.

[caxap]

ИСН в сообщении #331397 писал(а):

Скажите, а как выглядела бы ситуация "плоскость замкнута"? Так было бы, если бы... что?

Если следовать тем определениям, которые я привел на прошлой странице, то для того чтобы плоскость была замкнута, её дополнение до $\mathbb R^m$ должно быть открыто. Но ведь $\mathbb R^m$ и есть плоскость (возьмём для простоты $m=2$)! Либо я что-то не понимаю, либо одно из двух.

[ИСН]

Ещё маленький шажок. Что представляет из себя упомянутое дополнение? Открыто ли оно?

[caxap]

Дополнение $\mathbb R^2$ до $\mathbb R^2$? Это пустое множество. Я думаю, оно не удовлетворяет ни одному определению (у него вообще точек нет), но Зорич пишет, что его можно считать открытым. Также он пишет про открытость $\mathbb R^m$. А потом даёт определение, согласно которому множество и его дополнение одновременно не могут быть открытыми.

[ИСН]

Знаете, есть два способа относиться к тексту. Один - это понимать каждый отдельный факт, и тогда неважно, кто это сказал, зорич, шморич, whatever. А другой - это "верю-не верю". Вы за какой?
(Да, пустое множество. Да, в нём нет точек. Значит, дальше что?)

[caxap]

ИСН в сообщении #331408 писал(а):

(Да, пустое множество. Да, в нём нет точек. Значит, дальше что?)

Значит нет такой точки, чтобы её окрестность целиком не лежала в $\varnothing$. Все (0) точек удовлетворяют определению открытого множества.
Либо, как я уже говорил, $\varnothing$ не является ни замкнытым, ни открытым. Ведь нет такой теоремки (я такой не видел), где было бы сказано, что множество обязано быть либо тем, либо тем.

[ИСН]

Откуда это "либо"?! Если оно удовлетворяет определению открытого множества, то какое может быть "либо"? Либо что? Либо оно специальным папским эдиктом выпилено из числа открытых множеств?

[caxap]

ИСН
Ок, хорошо. $\mathbb R^m$, $\varnothing$ открытые. Не могли бы вы ответить на вопросы, написанные в "оффтопе" на прошлой странице?

ИСН в сообщении #331408 писал(а):

Знаете, есть два способа относиться к тексту. Один - это понимать каждый отдельный факт, и тогда неважно, кто это сказал, зорич, шморич, whatever. А другой - это "верю-не верю". Вы за какой?

Я за первый вариант. Но иногда натыкаюсь на противоречия, которые я описал на прошлйо странице, в которых бы желательно разобраться и сделать пометки на полях в учебнике.

[ИСН]

Замечательно. Всецело поддерживаю. Теперь: что такое замкнутость? Если множество открыто, то его дополнение, оно что?

[caxap]

ИСН в сообщении #331427 писал(а):

Теперь: что такое замкнутость? Если множество открыто, то его дополнение, оно что?

Множество замкнуто, если его дополнение открыто, напр. $[a,b]$ и $(-\infty,a)\cup(b,+\infty)$. Это определение.

Рассмотрим в обратную сторону. Мн-во $G$ открыто. Если $C(G)$ замкнуто, то его дополнение $C(C(G))=G$ должно быть открыто. Подходит.
Если $C(G)$ открыто, то... тоже подходит?.. тут либо я всё понял, лиюо запутался. Верно ли я понимаю, что написанное выше определение не противоречит возможности сущствования множество такого, что оно само и его дополнение открыто?

[ИСН]

Верно. И Вы только что парочку таких множеств нашли.

[caxap]

Вау! Спасибо большое!
А в остальных вопросах поможете разобраться?