2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 замкнутые неперерскающиеся множества на расстоянии 0
Сообщение14.06.2010, 20:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Расстоянием между множествами $E_1,E_2\subset \mathbb R^m$ назовём
$$d(E_1,E_2)=\inf_{x_1\in E_1,x_2\in E_2} d(x_1,x_2),$$
где $d(x_1,x_2)$ -- расстояние между точками $x_1,x_2$ ("обычное", т.е. $\sqrt{\sum_i (x_1^i - x_2^i)^2$}, $i$ -- индекс, а не степень).

Требуется привести пример замкнутых в $\mathbb R^m$ множеств $E_1,E_2$ без общих точек, чтобы $d(E_1,E_2)=0$. По-моему таких не бывает, но вопрос поставлен так, что как будто бывают...

-- Пн июн 14, 2010 20:27:32 --

Это задача из Зорича, 1 том, Гл. 7, $\S$1, п. 3.

 Профиль  
                  
 
 Re: задаа про расстояние
Сообщение14.06.2010, 20:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Видели ли Вы украинскую гиперболу с асимптотами? Нет, Вы не видели гиперболы с асимптотами!

 Профиль  
                  
 
 Re: задаа про расстояние
Сообщение14.06.2010, 20:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Это не интересно. Надо, чтобы множества было ограниченными.

 Профиль  
                  
 
 Re: задаа про расстояние
Сообщение14.06.2010, 20:41 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
gris в сообщении #331239 писал(а):
Надо, чтобы множества было ограниченными.
Кому надо?

 Профиль  
                  
 
 Re: задаа про расстояние
Сообщение14.06.2010, 20:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Если я скажу "мне", то уже знаю, что услышу в ответ. Поэтому просто пожму плечами и заведу очи горе.

 Профиль  
                  
 
 Re: задаа про расстояние
Сообщение14.06.2010, 21:05 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
gris в сообщении #331245 писал(а):
Если я скажу "мне", то уже знаю, что услышу в ответ.
Ясновидец. ;-)

Просто автору темы это было не нужно.
А в Вашем случае, я подозреваю, ответ противоположный.

 Профиль  
                  
 
 Re: задаа про расстояние
Сообщение14.06.2010, 21:19 


02/07/08
322
Гипербола для $m = 1$ не годится. Тогда можно взять множество натуральных чисел и какое-нибудь множество чисел, близких к натуральным, и чем дальше от 0, тем ближе.

 Профиль  
                  
 
 Re: задаа про расстояние
Сообщение14.06.2010, 21:28 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
Кусок спирали, бегущий к точке.

 Профиль  
                  
 
 Re: задаа про расстояние
Сообщение14.06.2010, 23:13 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
А, требуется замкнутое мн-во. Тогда спираль не идёт.
А ограниченность, gris, не требуется. Тогда подходит гипербола, действительно.

 Профиль  
                  
 
 Re: задаа про расстояние
Сообщение15.06.2010, 06:56 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
gris в сообщении #331239 писал(а):
Надо, чтобы множества было ограниченными.

Расстояние от компакта до замкнутого множества в случае их непересечения всегда ненулевое

 Профиль  
                  
 
 Re: задаа про расстояние
Сообщение15.06.2010, 07:25 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
Верно ли, что из бесконечной ограниченной последовательности $x_i \in \mathbb R^m$ всегда можно выделить сходящуюся подпоследовательность?
Мне кажется - верно, и тогда вариант gris-a не имеет решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: задаа про расстояние
Сообщение15.06.2010, 07:30 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
venco в сообщении #331342 писал(а):
Мне кажется - верно, и тогда вариант gris-a не имеет решения.

Почему кажется?

 Профиль  
                  
 
 Re: задаа про расстояние
Сообщение15.06.2010, 10:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
ИСН в сообщении #331235 писал(а):
Видели ли Вы гиперболу с асимптотами? Нет, Вы не видели гиперболы с асимптотами!

Простите, а разве гипербола -- замкнутое множество? По-моему, любое множество, "простирающиеся" в беконечность является открытым. Чем гепербола и её асимптоты лучше $\mathbb R$, являющегося открытым?

А можно так (придумал, пока в маршрутке ехал): $E_1=\mathbb Q\cap [3,4]$, $E_2=\{\pi\}$. Вроде бы всем условиям удовлетворяет: оба замкнуты (я прав?), общих точек нет, расстояние между ними 0.

(Оффтоп)

Извините, я не буду создавать новую тему. Но вопрос такой. Читаю Зорича и есть 3 момента:
1) Определение. Множество $G\subset \mathbb R^m$ наз-ся открытым в $\mathbb R^m$, если для любой точки $x\in G$ найдётся шар $B(x,\delta)\subset G$.
Далее идет два примера: $\mathbb R^m$ -- открытое мн-во и $\varnothing$, поскольку не имеет точек вообще можно считать открытым.
Далее идет определени замкнутого мн-ва, как такого, дополнение которого $\mathbb R^m\setminus G$ является открытым.
Внимание вопрос: как могут быть $\mathbb R^m$ и $\varnothing$ быть одновременно открытыми, если они являются дополнениями друг друга?

2) Утверждение. (F замкнуто в $\mathbb R^m$) $\iff$ ($F=\overline F$ в $\mathbb R^m$).
upd. В кудрявцеве похажая теоремка, что замыкание является замкнутым множеством.
Тут $\overline F$ -- это замыкание мн-ва $F$, т.е. его объеденение со всеми его предельными точками.
Внимание вопрос: мн-во $\mathbb R^m$ удовлетворяет правой части, но не удовлетворяет левой. В чем дело?

upd.
3) В Зориче написано, что предельная точка мн-ва -- это такая, любая окрестность которой содержит бесконечное число точек мн-ва. А в Кудрявцеве -- почти то же, но достаточно хотя бы одну точку чтобы содержали эти окрустности (кроме самой точки, "предельность" который исследуется). Чему верить?

Кто хочет посмотреть в оригинале, это Зорич, 1 том, Гл. 7, $\S$1

 Профиль  
                  
 
 Re: задаа про расстояние
Сообщение15.06.2010, 10:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Переосмыслите определения открытости и замкнутости. По-моему, необходимость назрела.

 Профиль  
                  
 
 Re: задаа про расстояние
Сообщение15.06.2010, 10:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
ИСН в сообщении #331388 писал(а):
Переосмыслите определения открытости и замкнутости.

Я так и осмысливаю. Первичным является понятие "открытое мн-во", для любой точки которого существует окрестность целиком лежащая в этом множестве. Замкнутое определяется через дополнение, как я писал выше.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 66 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group