Геометрия. Использование линейки без делений.

[neo66]

Все, понял. Сначала можно решить такую задачу:

На плоскости нарисованы две параллельные прямые и точка. При помощи одной линейки провести через эту точку прямую, параллельную данным.

[Circiter]

Что-то у меня ничего не получается, я даже Погорелова с полки достал, пыль сдул --- все равно эффекта нет...

[neo66]

Circiter в сообщении #328538 писал(а):

Что-то у меня ничего не получается

Чего не получается?

[Circiter]

2neo66

Цитата:

Чего не получается?

Перпендикуляр нарисовать линейкой. :) Ну через точку на диаметре, в частности через один из его концов.

[neo66]

А через остальные точки плоскости умеете?

[Circiter]

Цитата:

А через остальные точки плоскости умеете?

А то. :)

[neo66]

Ну, я же подсказал, как можно. Проводите любые два перпендикуляра к диаметру. Забываете про окружность и диаметр как про страшный сон. Дальше пользуетесь решением вспомогательной задачи, которую я сформулировал выше. Она и сама по себе интересна.

[Circiter]

Так вот вашу-то и не понятно как решать. Не могли бы вы дать какую-нибудь подсказку?

P.S.: Вот maxmatem что-то интересное из проективной геометрии предлагал... Но тоже не доходит. :)

[gris]

Я строил трапецию с диагоналями. Перпендикуляр по одну сторону от точки, потом диагонали через эту точку, потом второй перпендикуляр. Трапеция равнобокая.
Потом проводим ещё один крест через точки пересечения перпендикуляров с диаметром и окружностями. Там две пары подобных треугольников. Мне почему-то показалась легче, чем провести перпендикуляр через точку на окружности.

Через конец диаметра то же самое, только сначала проводим два перпендикуляра

[neo66]

Circiter в сообщении #328803 писал(а):

Так вот вашу-то и не понятно как решать. Не могли бы вы дать какую-нибудь подсказку?

Пусть точка $A$ между параллельными прямыми. Проводим через нее две прямые $l_1$ и $l_2$. 4 точки их пересечения с параллельными прямыми дадут трапецию. Ее боковые стороны пересекаются в точке $O$. Проводим через точку $O$ еще одну прямую - $l_3$. Прямые $l_2$ и $l_3$ высекают еще одну трапецию. Обозначим точку пересечения ее диагоналей через $B$. Прямая $AB$ параллельна заданным.

[Circiter]

Всё оказывается было совсем просто. :) Спасибо.

[Ales]

neo66 в сообщении #328829 писал(а):

Circiter в сообщении #328803 писал(а):

Так вот вашу-то и не понятно как решать. Не могли бы вы дать какую-нибудь подсказку?

Пусть точка $A$ между параллельными прямыми. Проводим через нее две прямые $l_1$ и $l_2$. 4 точки их пересечения с параллельными прямыми дадут трапецию. Ее боковые стороны пересекаются в точке $O$. Проводим через точку $O$ еще одну прямую - $l_3$. Прямые $l_2$ и $l_3$ высекают еще одну трапецию. Обозначим точку пересечения ее диагоналей через $B$. Прямая $AB$ параллельна заданным.

Этот чертеж легко обосновать с помощью проективной геометрии: убрать точку О на бесконечность, тогда из двух трапеций получатся два параллелограмма, очевидно, что две точки пересечения их диагоналей лежат на параллели.

А без проективного преобразования можно ли доказать?

[neo66]

Ales в сообщении #329078 писал(а):

А без проективного преобразования можно ли доказать?

Элементарно, через подобные треугольники. Кстати, гораздо труднее доказать невозможность построения. Например, докажите, что невозможно построить центр окружности одной линейкой. Я знаю доказательство, изложенное Ю.Маниным. Правда, не уверен, что это он его придумал.

[Ales]

neo66 в сообщении #329091 писал(а):

Ales в сообщении #329078 писал(а):

А без проективного преобразования можно ли доказать?

Элементарно, через подобные треугольники. Кстати, гораздо труднее доказать невозможность построения. Например, докажите, что невозможно построить центр окружности одной линейкой. Я знаю доказательство, изложенное Ю.Маниным. Правда, не уверен, что это он его придумал.

Я знаю доказательство. Прочитал в одной из книг В.И. Арнольда.
Простое доказательство с помощью проективной геометрии.

Но самому додуматься до этого простого доказательства не просто.