Добрый день, уважаемые.
Недавно встал передо мной следующий вопрос, который я изложу ниже.
Дан эллипсоид и плоскость, заданные уравнениями:
Ax+By+Cz = 0
Задача: найти экстремальную площадь эллипса, который получается в сечении данного эллипсоида плоскостью.
Конечно, и слону понятно, что это будет эллипс, который включает в себя две наибольшие оси эллипсоида, но ведь это надо доказать.
Я решил обратиться за помощью, так как элементарно "застрял"
Итак, что же я пытался делать.
Try #11)Выражаю z из уравнения эллипсоида, z=a(x,y)
2)Подставляю z в уравнение плоскости.
3)Решаю уравнение плоскости относительно x, получаем y=b(x)
4)Подставляю y=a(x) в z, и получаю z=a(x,b(x))
5)Так как центр эллипса (пересечение его minor и major осей) находится в (0,0),и что он лежит в пересечении плоскости и эллипсоида.
Следовательно, я могу записать квадратичное расстояние
Между центром эллипса и любой точкой на нем:
f(x) = x*x + y*y + z*z
Теперь, подставив сюда наше y=b(x) и z=a(x,b(x)) мы получим функцию, зависящую только от x
6)Дифференцируем f(x) по x и приравниваем к нулю. Получаем уравнение четвертой степени.
Соответственно, корни этого уравнения - локальные экстремумы данной функции, а в частности - x координаты точек major и minor осей.
Далее подставляем полученное в y=b(x),а далее в z=(x,b(x)) и получаем координаты всех 4 точек нашего эллипса
(2 точки - крайние одной оси, 2 точки - крайние точки другой оси)
7)Далее находим длину этих осей, и пользуясь формулой площади эллипса
находим его площадь.
8)Теперь, надо максимизировать.
Зафиксируем параметры нашего эллипсоида a,b,c и максимизируем нашу функцию S
Почему я пришел за помощью?
Да потому что решая этим способом, получается просто неимоверная каша из букв(именно потому я выше не привел ни одной строчки рассчетов), и функцию S очень сложно потом максимизировать. Да даже производные по A,B,C найти очень хлопотно! Выражения получаются просто неимоверные.
Try #2 Пробовал выразить эллипс используя уравнение эллипсоида и плоскости и потом привести его к каноническому виду.
Но, здесь следующая проблема:
Я не смог это сделать "красиво".
Матрица получается совсем нефиговая. Про нахождение собственных векторов (которые являются у нас базисом, в котором эллипс примет канонический вид) вообще молчу. Но и даже это еще не конец - ведь придется все равно максимизировать!
Потому, мой вопрос:
а)каким способом посоветуете делать? Может что-нибудь посоветуете дельное? Либо тот способ, которым я пытался сделать это первый раз, и нужно решать, просто быть максимально аккуратным? Но честно говоря, устамши им делать.
б)Есть еще идейка, но она все равно сведется к try #2 - мы-то знаем плоскость, на которой лежит эллипс. А соответственно - вектор нормали. а соответственно - через направляющие косинусы опять же найти базис, в котором эллипс примет вид. В общем, те же яйца, только в профиль.
Гугл мне не помог.
Правда,я нашел следующую ссылку:
http://www.springerlink.com/content/wn37x45481080282/Это сайт издательства, в частности - номер журнала за 1979 год, статья в котором так и называется -
"Intersections of ellipsoids and planes of arbitrary orientation and position"
(Сечения эллипсоидов плоскостями произвольной ориентации и расположения)
Но найти его я нигде не смог (на торрентс.ру есть многое, но не это, а гугл молчит). Может есть у кого? Уже только этим ОЧЕНЬ сильно поможете.
Если кто посоветует чего или даст хорошую книжку, в которой освещается данный материал - тоже буду очень благодарен форумному коммьюнити.
С Уважением.
27.04.2010, 21:38 
