Парадоксы Зенона и другие.

[Lyosha]

Андрей АK в сообщении #322191 писал(а):

Зенон сделал отображение бесконечной прямой на отрезок конечной длины.
Поставил в соответствие каждой точке прямой - точку на отрезке.
Получился парадокс.
Потому-что длина отрезка конечна, а длина прямой равна бесконечности.
А между тем они как бы равны.
Нет , это никакая не психология.
Психологических парадоксов не бывает.

Всё-таки психология!Настоящего противоречия здесь нет.Всё-таки мощность множества точек отрезка и его длина - не одно и то же.

[Casaubon]

Андрей АK в сообщении #322191 писал(а):

Бесконечное количество действий - это числовая прямая - это не кажется, это на самом деле расстояние, которое невозможно пройти до конца.

Бесконечное количество действий --- это не совсем числовая прямая, это Вам так проще предствлять. Впрочем, образ достаточно наглядный, пусть пока будет так.
Но её пройти очень даже можно, просто нужно двигаться не с постоянной скоростью, а, скажем, с $v(t)=\frac1{\cos^2 t \pi/2}$.
Тогда аккурат через секунду дойдём. Примерно в это и превращается, кстати, постоянная скрость при таких преобразованиях.

А по поводу психологии --- так это именно психологически Вам представляется отрезок в виде прямой, затем именно психологически кажется, что её пройти нельзя и т.п. Если аккуратно пересчитать скорости, расстояния, времена и т.п., то при любых преобразованиях всё будет одинаково, и как ни считай, всё одно догонит. Математика не может изменить физику явления.

Кроме того, Вы же сами писали:

Андрей АK в сообщении #322095 писал(а):

да сложная математика вполне может сидеть у каждого человека в подсознании)

Вот именно потому, что сидеть она там может неправильно, и рождаются такие парадоксы.

И вообще. По определению, парадокс --- это формально, логически верное рассуждение, вывод которого противоречит нашей интуиции. Если интуиция настроена правильно, то и парадокса не будет. Как ни крути математику ;)

[venco]

Да при чём тут нелинейные преобразования координат? Зенон просто (впервые?) показал, что бесконечная сумма положительного ряда может быть конечной. Сейчас этот факт довольно тривиальный, но тогда это было очень не очевидно.

[Casaubon]

venco в сообщении #322200 писал(а):

что бесконечная сумма положительного ряда может быть конечной.

Где-то я чуть выше это уже говорил --- а он знал современное определение бесконечной суммы? Или пользовался своим?

[TypucT]

Casaubon, агументы ad hominem не засчитываются. В чём же вы пытаетесь убедить публику? Я утверждаю, что парадокс Зенона физически реализовать невозможно. Вы возражаете примерно так: "Я каждый день успешно провожу этот эксперимент. Эксперимент физически провести невозможно":

Casaubon в сообщении #322109 писал(а):

Но преодоления всех эти отрезков, длина которых стремится к нулю, не есть реальное событие вот в каком смысле: начиная с какого момента (по собственному времени Ахиллеса), мы уже не сможем ни измерить их длину, из-за того, что не хватит точности приборов, ни измерить такие малые интервалы времени по той же причине.

-- Пт май 21, 2010 13:19:59 --

Alexey1 в сообщении #309673 писал(а):

Имеется лампа во включенном состоянии. Через $\frac{1}{2}$ минуты, она выключается, затем, через $\frac{1}{4}$ минуты она опять включается и т.д. В каком состоянии будет лампа через 1 минуту? Парадокс заключается в том, что задача похожа на поиск предела $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} (-1)^n$ (лампа выключается $-1$, лампа включается $1$) которого не существует. Хотя из постановки задачи этот предел должен существовать (эксперимент будет длиться только одну минуту). Разрешён ли данный парадокс?

Из такой постановки задачи существование предела не следует. Не забывайте, что в парадоксе Зенона дополнительно утверждается, что Ахиллес бежит с постоянной скоростью, чем уже задано его местоположение в любой момент времени. Если это условие опустить, то где будет Ахиллес, тоже определить не удастся.
Для лампочки это может значить, например, такое изменение условия задачи, что мы её включаем, а выключается она сама. Тогда всё становится на свои места - мы задали её состояние для всех точек на всей прямой времени. Парадокс остаётся в том, что мы знаем, что лампочка будет выключена через минуту, но при этом мы совершим бесконечное число нажатий на кнопку. Математически это вполне возможно. Физически таких явлений не наблюдалось.

[Casaubon]

TypucT в сообщении #322314 писал(а):

В чём же вы пытаетесь убедить публику?

Да, Вы правы, пожалуй следует привести аргументы более чётко и систематизировано. Извольте.
Суть примерно такова:
1. Есть физическое явление --- объект, движущийся с большей скоростью через какое-то время догоняет и перегонят обеъект, движущийся с меньшей. Здесь даже не особо важно постоянство скоростей, по сути важно, чтобы средние скорости объектов за некоторое время отличались.
Именно этот опыт изучал Зенон. Именно это мы видим каждый день.
2. Зенон строит математическую модель данного опыта. Она в себя включает представления объектов в виде материальных точек, координаты которых мы задаём одним числом, которые принадлежать множеству, включающим в себя по меньшей мере рациональные числа. Причём, мы можем задать одновременно и координату и скорость объекта с любой точностью. Это тоже неявно входит в модель.
Кстати, уже на этом месте вдумчивый древний грек увидит некий парадокс. Ведь мы в жизни никогда не видели материальных точек. Это --- чисто абстрактное понятие. Как же оно связано с реальным миром? Т.е. как связана абстрактная математическая модель, состоящая лишь из абстрактных объектов, с теми процессами, которые она описывает в реальном мире? Это сложный и нетривиальный вопрос, разобравшись в котором мы уже не будем видеть парадоксов a-la Зеноновского.

Студент XXI века ничего не увидит --- про мат. точки и такую физику ему рассказывают с детского сада, он просто привык и ничего сложно в этом для него нету.

Кроме того, постулируется "аддитивность" (или делимость) пространства и времени, а именно: считается, что если отрезок длины $l>0$ пройден за время $t>0$, то всегда его можно разбить на два отрезка длинами $l_1<l$ и $l_2<l$, каждый из которых проходится за такие времена $t_1>0$ и $t_2>0$, что $t_1+t_2=t$.
Итак, это всё входит в модель, которую мы строим. В реальном мире ничего такого, разумеется, нет.
3. А теперь траектория движения Ахиллеса разбивается на бесконечное число интервалов, длина которых стремится к нулю. И тут мы подходим к завязке парадокса, именно на этом моменте Зенон говорит, смотрите, вот Ахиллесу нужно сделать бесконечное число действий (преодолеть бесконечное число отрезочков). А для этого ему нужно бесконечное время, вот он и не догонит черепаху.

Собственно, решается парадокс так, как я уже говорил --- эти действия (пересечения воображаемых отрезочков) являются абстрактными (это связано с точностью приборов и т.п.). Поэтому, мы и может тратить на них бесконечно малое время. И в этом они принципиально отличаются от действий реальных, типа нажатия на кнопку или совершения очередного шага --- в реальности на бесконечное число действий нужно бесконечное время. Как бы ни было мало время каждого действия.
В реальности нет бесконечности. Ни бесконечно малого, ни бесконечно большого. Нет ни бесконечно больших интервалов, ни бесконечно малых. Нет бесконечно малых времён и т.п.

Точек, кстати, бесконечно много именно потому, что они воображаемые. И это тоже принципиальный момент. Если бы точки были реальными, а не воображаемыми, скажем, связанными с какими-то объектами, мы могли бы на них разместить фотодетекторы, регистрирующие момент прохождения этой точки Алиллеса. Но этого мы сделать не можем принципиально, мы не может построить бесконечное количество фотодетекторов. В любом мысленном опыте мы можем считать, что их так много, как нам нужно, но меньше бесконечности. А в парадоксе важно именно бесконечное число точек.


Опять же, самый основной вопрос, который следует вынести из обсуждения парадокса Зенона заключается в следующем. Как же это мы, оперируя абстрактными понятиями, типа бесконечного набора отрезков, суммарная длина которых конечна, которых в природе не существует, тем не менее умудряемся эту природу с помощью таких понятий описывать, причём достаточно адекватно.

[DmitriyMB]

Alexey1 в сообщении #309673 писал(а):

Всем известна история про Ахиллеса и черепаху. Если расстояние между Ахиллесом и черепахой равно 1м, то для того, чтобы ему дойти до черепахи нужно пройти половину пути, т.е. $\frac{1}{2}$м, затем половину половины пути т.е. $\frac{1}{4}$м, и т.д. Парадокс был разрешён когда нашли сумму ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \Big(\frac{1}{2}\Big)^n=1$ и получилось, что если на половину пути он затрачивает половину минуты, то он дойдет до черепахи за 1 минуту (хотя изначально считалось невозможным пройти бесконечное количество отрезков за конечное время). После того, как этот парадокс был разрешён придумали другой парадокс.
Имеется лампа во включенном состоянии. Через $\frac{1}{2}$ минуты, она выключается, затем, через $\frac{1}{4}$ минуты она опять включается и т.д. В каком состоянии будет лампа через 1 минуту? Парадокс заключается в том, что задача похожа на поиск предела $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} (-1)^n$ (лампа выключается $-1$, лампа включается $1$) которого не существует. Хотя из постановки задачи этот предел должен существовать (эксперимент будет длиться только одну минуту). Разрешён ли данный парадокс?

Лампочка будет гореть , но очень тускло,не в полную мощь

[Lyosha]

DmitriyMB в сообщении #325945 писал(а):

Лампочка будет гореть , но очень тускло,не в полную мощь

Шашлык из неё будет после такого так называемого числа переключений.

[DmitriyMB]

Lyosha в сообщении #325955 писал(а):

DmitriyMB в сообщении #325945 писал(а):

Лампочка будет гореть , но очень тускло,не в полную мощь

Шашлык из неё будет после такого так называемого числа переключений.

а если лампочка сделана из супер-пупер неперегораемого материала?

[Xey]

Lyosha в сообщении #325955 писал(а):

Шашлык из неё будет после такого так называемого числа переключений.

Да нет, средний ток в лампочке, не будет превышать чуть более половины от номинального.

И на другой вопрос

arseniiv в сообщении #311794 писал(а):

Почему же люди не спрашивают, какое значение имеет $\sin\frac1x$ в $0$? А ведь почти то же...

есть ответ. Из соображений нечетности синуса в центре любого симметричного интервала , например, от - 2 / пи до +2 / пи должно быть значение 0.

[Lyosha]

Такой эксперимент просто физически нереализуем.И дело не только в отсутствии наличия неперегораемого материала.Для того чтобы изменить состояние лампочки нужно совершить работу и чем ближе к полдню тем меньше на это отводится времени.Соответственно нужно всё больше и больше мощности.Не хочу употреблять слово бесконечность.Поэтому напишу так:для любого наперёд заданного значения мощности найдётся такой момент времени,что после него не хватит этой мощности на переключение лампы в отведёный промежуток времени.И наступит такой момент,что на переключение лампы потребуется мощность,по сравнению с которой БОЛЬШОЙ ВЗРЫВ покажется комариным писком.

[Xey]

Но ведь это проблема источника, а не лампочки. Она ничего не заметит. И без того, электроны проскакивают через нить очень часто , но ей до этого дела нет.

[Lyosha]

Я имел ввиду эксперимент.А для его постановки нужна не только лампочка.

[DmitriyMB]

вам не нужно знать,сколько вам понадобится мощности, главное это то,что вы увидите в конечном результате, а увидите вы вот что:сначала лампочка находится в одном из состояний ,например включенном,потом выключается,потом включается,и существует такой предел частоты,превысив который вы будете видеть одну и ту же картину картину-эти двасостояния сольются в одно и вы будете видеть уже не горящую или потухшую лампочку ,а среднее,горящую ,но не в полную мощь.
P.S.Если последовать логике господина XEA по соображению симметричности,то получим один и тот же результат-среднее состояние,то есть лампочку горящую,но очень тускло(1/2 мощности обычного состояния)

[Lyosha]

Есть формальная постановка задачи и из условия задачи ни как не извлечь ответ на вопрос:"А в каком же состоянии будет лампочка в полдень?".И есть попытка физического наполнения условия задачи,т.е. попытка поставить эксперимент.И якобы из того,что такой эксперимент возможен и будет длиться всего 1 минуту(т.е. можно увидеть ответ),делается вывод,что вышеозначенный вопрос имеет смысл(т.е. условие задачи позволяет дать на него ответ).

А мигание лампочки будет только до полудня.Вопрос же ставится о её состоянии в полдень.