2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Математическая индукция
Сообщение13.04.2010, 08:52 
ewert, спасибо, но $3^{k+1}+3^{k-1}=10\cdot3^{k-1}$?

 
 
 
 Re: Математическая индукция
Сообщение13.04.2010, 08:57 
А как же.

 
 
 
 Re: Математическая индукция
Сообщение13.04.2010, 10:34 
ewert , поясните, пожалуйста, $3^{k+1}+3^{k-1}=10\cdot3^{k-1}$

 
 
 
 Re: Математическая индукция
Сообщение13.04.2010, 10:48 
Хоть я и не ewert, но попробую: $3^{k+1} = 3^2 \cdot 3^{k-1} = 9 \cdot 3^{k-1}$

 
 
 
 Re: Математическая индукция
Сообщение13.04.2010, 11:04 
Maslov, СПАСИБО! Вы как всегда- в нужном месте, в нужный час. Возьму на заметку. Сама не додумалась.

-- Вт апр 13, 2010 11:18:00 --

"Для индукционного перехода достаточно убедиться в том, что $P(k)=m\cdot P(k-1)+<...>$, где $<...>$ делится на 11. Ну это бросается в глаза"
Скажу прямо:" В глаза мне ничего не бросилось", потому, что я, как слепой котёнок, пытаюсь понять тему, которая называется математическая индукция.
$P(k-1)=36^{k-1}+3^k+3^{k-2}$

 
 
 
 Re: Математическая индукция
Сообщение13.04.2010, 16:31 
Marina в сообщении #308973 писал(а):
Скажу прямо:" В глаза мне ничего не бросилось", потому, что я, как слепой котёнок, пытаюсь понять тему, которая называется математическая индукция.
$P(k-1)=36^{k-1}+3^k+3^{k-2}$

Вам предложили заметить, что в данном примере можно доказательство свести к тому, что выразить $P(k+1)$, через $P(k)$. Для этого записываете $P(k+1)=m \cdot P(k) + <...>$. Теперь после такой записи определите каким взять $m$ и каким взять выражение в скобках. Таким же способом можно воспользоваться и в примере приведённом в Вашем первом сообщении. Этот способ очень простой. Попробуйте сделать, сами убедитесь.

 
 
 
 Re: Математическая индукция
Сообщение13.04.2010, 18:06 
я имел в виду, что для решения задачи её желательно по возможности упрощать. В данном случае напрашивавшееся упрощение состояло в том, что, хотя изначально выражение состояло вроде как из трёх показательных функций, но фактически-то -- только двух: $36^k$ и $3^k$ (ну там плюс-минус единички в показателе -- не особо принципиальны).

 
 
 
 Re: Математическая индукция
Сообщение13.04.2010, 18:25 
Если $P(k)=36^{k-1}+10\cdot 3^{k-1}$, а $P(k+1)=36^k+10\cdot 3^k$, тогда
$=36^{k-1}+10\cdot 3^{k-1}+66=36^k+10\cdot 3^k$

 
 
 
 Re: Математическая индукция
Сообщение13.04.2010, 18:47 
А если $k=2$? Запишите $P(k+1)=36^k+10 \cdot 3^k$ и $P(k)=36^{k-1}+10 \cdot 3^{k-1}$. Ясно, что для того, чтобы выразить $P(k+1)$ через $P(k)$ можно умножить $P(k)$ на 36, тогда получается $36P(k)=36^k+36 \cdot 10 \cdot 3^{k-1}=36^k+12 \cdot 10 \cdot 3^k$. Что теперь необходимо отнять от $36P(k)$, чтобы получить $P(k+1)$?

 
 
 
 Re: Математическая индукция
Сообщение13.04.2010, 18:58 
Необходимо отнять $11\cdot 10\cdot 3^k$?

 
 
 
 Re: Математическая индукция
Сообщение13.04.2010, 19:01 
Marina в сообщении #309090 писал(а):
Необходимо отнять $11\cdot 10\cdot 3^k$?

Правильно, и это делится на 11. Таким образом, получается $P(k+1)=36P(k)-11 \cdot 10 \cdot 3^k$.

 
 
 
 Re: Математическая индукция
Сообщение13.04.2010, 19:08 
Alexey1 СПАСИБО!!! Вы правда написали, что этот способ очень простой. В чём его простота я не очень поняла.

 
 
 
 Re: Математическая индукция
Сообщение13.04.2010, 19:14 
Этот способ прост тем, что путём простых преобразований (умножение, сложение), выражение для $P(k+1)$ приводится к выражению содержащему $P(k)$. Попробуйте решить самую первую задачу в этой теме этим же способом, там тоже всё быстро получается.

 
 
 
 Re: Математическая индукция
Сообщение13.04.2010, 19:37 
В первом примере $P(k)-6n^2=P(k+1)$ или $P(k+1)=P(k)+6n^2$?

 
 
 
 Re: Математическая индукция
Сообщение13.04.2010, 19:48 
Marina в сообщении #309116 писал(а):
В первом примере $P(k)-6n^2=P(k+1)$ или $P(k+1)=P(k)+6n^2$?

Правильно. Этот же способ можно использовать, чтобы доказать формулу $P(n)=\sum\limits_{k=1}^{n} k=\frac{n(n+1)}{2}$.

 
 
 [ Сообщений: 32 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group