Математическая индукция, утверждение о делимости

[Marina]

ewert, спасибо, но $3^{k+1}+3^{k-1}=10\cdot3^{k-1}$?

[ewert]

А как же.

[Marina]

ewert , поясните, пожалуйста, $3^{k+1}+3^{k-1}=10\cdot3^{k-1}$

[Maslov]

Хоть я и не ewert, но попробую: $3^{k+1} = 3^2 \cdot 3^{k-1} = 9 \cdot 3^{k-1}$

[Marina]

Maslov, СПАСИБО! Вы как всегда- в нужном месте, в нужный час. Возьму на заметку. Сама не додумалась.

-- Вт апр 13, 2010 11:18:00 --

"Для индукционного перехода достаточно убедиться в том, что $P(k)=m\cdot P(k-1)+<...>$, где $<...>$ делится на 11. Ну это бросается в глаза"
Скажу прямо:" В глаза мне ничего не бросилось", потому, что я, как слепой котёнок, пытаюсь понять тему, которая называется математическая индукция.
$P(k-1)=36^{k-1}+3^k+3^{k-2}$

[Alexey1]

Marina в сообщении #308973 писал(а):

Скажу прямо:" В глаза мне ничего не бросилось", потому, что я, как слепой котёнок, пытаюсь понять тему, которая называется математическая индукция.
$P(k-1)=36^{k-1}+3^k+3^{k-2}$

Вам предложили заметить, что в данном примере можно доказательство свести к тому, что выразить $P(k+1)$, через $P(k)$. Для этого записываете $P(k+1)=m \cdot P(k) + <...>$. Теперь после такой записи определите каким взять $m$ и каким взять выражение в скобках. Таким же способом можно воспользоваться и в примере приведённом в Вашем первом сообщении. Этот способ очень простой. Попробуйте сделать, сами убедитесь.

[ewert]

я имел в виду, что для решения задачи её желательно по возможности упрощать. В данном случае напрашивавшееся упрощение состояло в том, что, хотя изначально выражение состояло вроде как из трёх показательных функций, но фактически-то -- только двух: $36^k$ и $3^k$ (ну там плюс-минус единички в показателе -- не особо принципиальны).

[Marina]

Если $P(k)=36^{k-1}+10\cdot 3^{k-1}$, а $P(k+1)=36^k+10\cdot 3^k$, тогда
$=36^{k-1}+10\cdot 3^{k-1}+66=36^k+10\cdot 3^k$

[Alexey1]

А если $k=2$? Запишите $P(k+1)=36^k+10 \cdot 3^k$ и $P(k)=36^{k-1}+10 \cdot 3^{k-1}$. Ясно, что для того, чтобы выразить $P(k+1)$ через $P(k)$ можно умножить $P(k)$ на 36, тогда получается $36P(k)=36^k+36 \cdot 10 \cdot 3^{k-1}=36^k+12 \cdot 10 \cdot 3^k$. Что теперь необходимо отнять от $36P(k)$, чтобы получить $P(k+1)$?

[Marina]

Необходимо отнять $11\cdot 10\cdot 3^k$?

[Alexey1]

Marina в сообщении #309090 писал(а):

Необходимо отнять $11\cdot 10\cdot 3^k$?

Правильно, и это делится на 11. Таким образом, получается $P(k+1)=36P(k)-11 \cdot 10 \cdot 3^k$.

[Marina]

Alexey1 СПАСИБО!!! Вы правда написали, что этот способ очень простой. В чём его простота я не очень поняла.

[Alexey1]

Этот способ прост тем, что путём простых преобразований (умножение, сложение), выражение для $P(k+1)$ приводится к выражению содержащему $P(k)$. Попробуйте решить самую первую задачу в этой теме этим же способом, там тоже всё быстро получается.

[Marina]

В первом примере $P(k)-6n^2=P(k+1)$ или $P(k+1)=P(k)+6n^2$?

[Alexey1]

Marina в сообщении #309116 писал(а):

В первом примере $P(k)-6n^2=P(k+1)$ или $P(k+1)=P(k)+6n^2$?

Правильно. Этот же способ можно использовать, чтобы доказать формулу $P(n)=\sum\limits_{k=1}^{n} k=\frac{n(n+1)}{2}$.