Рассмотрим утверждение П.Ферма при

.
Давно доказано, что в этом случае, если выполняется равенство

при натуральных

, то должно выполняться и равенство

при попарно взаимно простых

.
Предположим, что в натуральных попарно взаимно простых числах

выполняется равенство

.
Утверждение 1. Должно быть

-

– натуральное число.
Доказательство.
В соответствии с «малой» теоремой Ферма имеем

;

;

. С учётом того, что

после сложения всех равенств получим что должно быть

; где

– натуральное число.
Утверждение 2 . При попарно взаимно простых по исходному предположению

числа

так же должны быть попарно взаимно простыми.
Доказательство.
Из

получаем:

;

;

. Очевидно, что бы последние равенства выполнялись в натуральных числах, число

должно состоять только и только из множителей числа

; число

должно состоять только и только из множителей числа

; число

должно состоять только и только из множителей числа

. Таким образом видно что, при попарно взаимно простых по исходному предположению

числа

так же должны быть попарно взаимно простыми.
Утверждение 3. Должно выполняться, например,

:

;

.
Для любых чисел

справедливо равенство

. Так как в нашем случае

;

, то должно быть

.
Так как слева мы имеем

- куб натурального числа, то число справа должно быть целым кубом, а это возможно при взаимно простых

только если два из чисел

являются кубами, а одно равно девяти кубам, то есть должно быть, например,

:

;

. Можно взять любое другое из этих чисел равным 9 кубам, на результате исследования это не отразится.
Утверждение 4. Должно выполняться

.
Доказательство.
Так как

, а

:

;

, то после подстановки получим

, а после извлечения кубического корня yвидим, что должно выполняться и

.
Утверждение 5. Должно быть
Положив

, мы тем самым определили, что из тройки

именно число

должно делиться на

. Действительно.
Из

следует

, откуда видно, что

должно делиться и на

и на

, то есть должно быть

Утверждение 6. При

не делящемся на

числа

; должны быть взаимно простыми. Доказательство.
Предположим обратное – пусть они имеют общий простой множитель

, то есть что

;

, где

- натуральные числа. После подстановки

получим


и после деления на

получим

. Видим, что целым числом должна быть дробь

. Это возможно в нашем случае только при

, так как при

и

делящихся на

из

видно, что на

должно делиться и

, что невозможно. При

делящемся на

из

так же видно, что на

должно делиться и

, что так же невозможно при взаимно простых

и

. Следовательно, возможно только

, то есть числа

должны быть взаимно простыми. Совершенно аналогично доказательство необходимости взаимной простоты чисел

.
Утверждение 7. В рассматриваемом случае при

- натуральных не делящихся на

взаимно простых числах, число

должно делиться на

.
Любая тройка натуральных чисел

удовлетворяет равенству тождеству

Доказано, что в нашем случае должно быть

;

;

;

. После подстановки видно, что в рассматриваемом случае должно выполняться в натуральных числах и равенство

.
Из последнего равенства после деления на

получаем , что должно выполняться и равенство

. Замечаем, что число слева целое, поэтому и

должно быть целым, то есть число -

должно делиться на

.
Это возможно при

не делящихся на

только при

делящемся на

. Действительно, так как

не делятся на

, то в соответствии с «малой» теоремой Ферма должно быть

;

тогда

и после деления всего равенства на

получим, что должно выполняться

.
Теперь видно, так как

должно делиться на

, что бы равенство выполнялось в натуральных числах, на

должно делиться и число

. Это возможно только если числа

равно остаточны при делении на

. Таким образом числа

должны иметь вид

;

. Но тогда

. Так как все слагаемые в правой части последнего равенства делятся на

, то и число

должно делиться на

.
Утверждение 8. Равенство

не выполняется в натуральных числах при

делящемся на

. Доказательство.
Любая тройка натуральных чисел

удовлетворяет тождеству

. Доказано, что в нашем случае должно быть

;

;

;

и число

должно делиться на

. После подстановки видно, что должно быть:

. Тогда после деления всего равенства на

видно, что должно выполняться равенство

. Здесь число справа – целое, как сумма целых чисел. В то же время число слева

при взаимно простых не делящихся на

по предположению натуральных числах

, очевидно, целым быть не может. Это противоречие и доказывает, что равенство

. не может выполняться в натуральных числах (не имеет решений в натуральных числах) в рассмотренном случае , а так как оно эквивалентно исходному по предположению

, то и последнее в рассмотренном случае так же не имеет решений в натуральных числах.