ВТФ - простейший случай

[Vasilevich2010]

Рассмотрим утверждение П.Ферма при $n=3$.
Давно доказано, что в этом случае, если выполняется равенство $X^3+Y^3=Z^3$ при натуральных $Z;Y;X$, то должно выполняться и равенство $x^3+y^3=z^3$ при попарно взаимно простых $x:y:z$.
Предположим, что в натуральных попарно взаимно простых числах $x:y:z$ выполняется равенство $x^3+y^3=z^3$.
Утверждение 1. Должно быть $x+y-z=3t$ - $t$ – натуральное число.
Доказательство.
В соответствии с «малой» теоремой Ферма имеем $x^3-x=3A$;
$y^3-y=3B$; $z^3-z=3C$. С учётом того, что $x^3+y^3-z^3=0$ после сложения всех равенств получим что должно быть $x+y-z=3(C-B-A)=3t$; где $(C-B-A)=t$ – натуральное число.
Утверждение 2 . При попарно взаимно простых по исходному предположению $x;y;z$ числа $(z-y);(z-x);(x+y)$ так же должны быть попарно взаимно простыми.
Доказательство.
Из $x^3+y^3=z^3$ получаем: $\frac{x^3}{z-y}=z^2+zy+y^2$; $\frac{y^3}{z-x}=z^2+zx+x^2$; $\frac{z^3}{x+y}=x^2-xy+y^2$. Очевидно, что бы последние равенства выполнялись в натуральных числах, число $z-y$ должно состоять только и только из множителей числа $x$; число $z-x$ должно состоять только и только из множителей числа $y$; число $x+y$ должно состоять только и только из множителей числа $z$. Таким образом видно что, при попарно взаимно простых по исходному предположению $x;y;z$ числа
$(z-y);(z-x);(x+y)$ так же должны быть попарно взаимно простыми.
Утверждение 3. Должно выполняться, например, $z-y=9m^3$:
$z-x=k^3$; $x+y=g^3$.
Для любых чисел $x;y;z$ справедливо равенство
$(x+y-z)^3= y^3+x^3-z^3+3(x+y)(z-x)(z-y)$. Так как в нашем случае $x+y-z=3t$; $ y^3+x^3-z^3 =0$, то должно быть
$t^3=\frac{(x+y)(z-x)(z-y)}{3^2}$.
Так как слева мы имеем $t^3$ - куб натурального числа, то число справа должно быть целым кубом, а это возможно при взаимно простых $(x+y);$ $(z-x):$ $(z-y)$ только если два из чисел $(x+y);(z-x);(z-y)$ являются кубами, а одно равно девяти кубам, то есть должно быть, например,
$z-y=9m^3$: $z-x=k^3$; $x+y=g^3$. Можно взять любое другое из этих чисел равным 9 кубам, на результате исследования это не отразится.
Утверждение 4. Должно выполняться $x+y-z=3mgk$.
Доказательство.
Так как $(x+y-z)^3=(3t)^3=3(x+y)(z-x)(z-y)$, а $z-y=9m^3$:
$z-x=k^3$; $x+y=g^3$, то после подстановки получим $(3t)^3=3\bullet 9m^3g^3k^3$, а после извлечения кубического корня yвидим, что должно выполняться и $3t=x+y-z=3mgk$.
Утверждение 5. Должно быть $x=3mx_1$
Положив $z-y=9m^3$, мы тем самым определили, что из тройки $x;y;z$ именно число $x$ должно делиться на $3$. Действительно.
Из $x^3+y^3=z^3$ следует $\frac{x^3}{9m^3}=z^2+zy+y^2$, откуда видно, что $x$ должно делиться и на $3$ и на $m$, то есть должно быть $x=3mx_1$
Утверждение 6. При $y$ не делящемся на $3$ числа $(z-x); (z^2+zx+x^2)$; должны быть взаимно простыми. Доказательство.
Предположим обратное – пусть они имеют общий простой множитель $b$, то есть что $(z-x)=bA$; $(z^2+zx+x^2=bB)$, где $b;A;B$ - натуральные числа. После подстановки $z=x+bA$ получим $x^2+2Abx+b^2A^2+x^2+bAx+x^2 =bB$
$3x^2+3Abx+b^2A^2=bB$ и после деления на $b$ получим $\frac{3x^2}{b}+3Ax+bA^2=B$. Видим, что целым числом должна быть дробь $\frac{3x^2}{b}$. Это возможно в нашем случае только при $b=1$, так как при $b$ и $x$ делящихся на $3$ из $z-x=bA$ видно, что на $3$ должно делиться и $z$, что невозможно. При $x$ делящемся на $b$ из $z-x=bA$ так же видно, что на $b$ должно делиться и $z$, что так же невозможно при взаимно простых $z$ и $x$. Следовательно, возможно только $b=1$, то есть числа $(z-x);(z^2+zx+x^2)$ должны быть взаимно простыми. Совершенно аналогично доказательство необходимости взаимной простоты чисел
$(x+y);(x^2-xy+y^2$.
Утверждение 7. В рассматриваемом случае при $k;g;$ - натуральных не делящихся на $3$ взаимно простых числах, число $g^3-k^3$ должно делиться на $3^2$.
Любая тройка натуральных чисел $x;y;z$ удовлетворяет равенству тождеству $2x=(x+y)-(z-x)+(z-y)$ Доказано, что в нашем случае должно быть $x=3mx_1$; $x+y=g^3$; $z-x=k^3$; $z-y=9m^3$. После подстановки видно, что в рассматриваемом случае должно выполняться в натуральных числах и равенство $6mx_1-9m^3=g^3-k^3$.
Из последнего равенства после деления на $3$ получаем , что должно выполняться и равенство $2t-3m^3=\frac{g^3-k^3}{3}$. Замечаем, что число слева целое, поэтому и $\frac{g^3-k^3}{3}$ должно быть целым, то есть число - $g^3-k^3$ должно делиться на $3$.
Это возможно при $g;k$ не делящихся на $3$ только при $g-k$ делящемся на $3$. Действительно, так как $g;k$ не делятся на $3$, то в соответствии с «малой» теоремой Ферма должно быть $g^3-g=3p_g$; $k^3-k=3p_k$ тогда $(g^3-k^3)-(g-k)=3(p_g-p_k)$ и после деления всего равенства на $3$ получим, что должно выполняться
$(g^3-k^3)/3–(g-k)/3=p_g-p_k$.
Теперь видно, так как $(g^3-k^3)$ должно делиться на $3$, что бы равенство выполнялось в натуральных числах, на $3$ должно делиться и число $g-k$. Это возможно только если числа $g;k$ равно остаточны при делении на $3$. Таким образом числа $g;k$ должны иметь вид $g=3g_1+1$; $k=3k_1+1$. Но тогда
$g^3-k^3=3^3(g_1^3-k_1^3)+3^3(g_1^2-k_1^2)+3^2(g_1-k_1)$. Так как все слагаемые в правой части последнего равенства делятся на $3^2$, то и число $g^3-k^3$должно делиться на $3^2$.
Утверждение 8. Равенство $x^3+y^3=z^3$ не выполняется в натуральных числах при $x$ делящемся на $3$. Доказательство.
Любая тройка натуральных чисел $x;y;z$ удовлетворяет тождеству
$2x=(x+y)-(z-x)+(z-y)$. Доказано, что в нашем случае должно быть
$x=3mx_1$; $x+y=g^3$; $z-x=k^3$; $z-y=9m^3$ и число
$g^3-k^3$ должно делиться на $9$. После подстановки видно, что должно быть: $6mx_1=g^3-k^3+9m^3$. Тогда после деления всего равенства на $9$ видно, что должно выполняться равенство
$2mx_1/3=(g^3-k^3)/9+m^3$. Здесь число справа – целое, как сумма целых чисел. В то же время число слева $2mx_1/3$ при взаимно простых не делящихся на $3$ по предположению натуральных числах $m;x_1$ , очевидно, целым быть не может. Это противоречие и доказывает, что равенство
$2mx_1/3=(g^3-k^3)/9+m^3$. не может выполняться в натуральных числах (не имеет решений в натуральных числах) в рассмотренном случае , а так как оно эквивалентно исходному по предположению $X^3+Y^3=Z^3$, то и последнее в рассмотренном случае так же не имеет решений в натуральных числах.

[venco]

Вроде всё верно почти до конца, но:

Vasilevich2010 в сообщении #299041 писал(а):

В то же время число слева $2mx_1/3$ при взаимно простых не делящихся на $3$ по предположению натуральных числах $m;x_1$

А разве вы доказали, что $3$, $m$ и $x_1$ - взаимно простые?

В результате вы успешно доказали, что или $m$ или $x_1$ должно делиться на $3$.

[Гаджимурат]

Vasilevich2010 в сообщении #299041 писал(а):

последнее в рассмотренном случае так же не имеет решений в натуральных числах.

Обьемное доказательство.Необходимо всегда помнить начинающим "фермистам",что
если бы ур-ние Ф. имело решение в целых числах(для простых степеней),то
$x+y-z$ должно делиться на $n^k,3,5,7$ ,где $k=2$ и более.
Т.есть кто-то из $xyz$ должен делится на $n^2$ и более.Т.как $2$ простое число,то
все сказанное относится и к второй степени с уточнением:если $xyz$ не делится на 7,то $x+y$ либо $x-y$ делится на $7$.Проверить очень просто.Удачи.

[ananova]

venco в сообщении #299050 писал(а):

А разве вы доказали, что $3$, $m$ и $x_1$ - взаимно простые?

В результате вы успешно доказали, что или $m$ или $x_1$ должно делиться на $3$.

По-моему это не сложно доказать, если почитать доказательство теоремы Софи Жермен в изложении Эдвардса. После его прочтения, выводил собственноручно соотношения Барлоу для Случая 2, когда одна из переменных кратна p. Их можно найти и без доказательства - готовые на странице 119 Рибенбойма. Действительно там правильно должно быть так: $3^{3k}mx_1$.

Поэтому ошибка не в взаимной простоте, а, похоже, в этом:

Vasilevich2010 в сообщении #299041 писал(а):

что должно выполняться равенство
$2mx_1/3=(g^3-k^3)/9+m^3$.

Т.к. должно выполняться равенство:
$2*3^{3k-1}mx_1/3=(g^3-k^3)/9+m^3$.

[venco]

ananova в сообщении #299175 писал(а):

Поэтому ошибка не в взаимной простоте, а, похоже, в этом:

Vasilevich2010 в сообщении #299041 писал(а):

что должно выполняться равенство
$2mx_1/3=(g^3-k^3)/9+m^3$.

Т.к. должно выполняться равенство:
$2*3^{3k-1}mx_1/3=(g^3-k^3)/9+m^3$.

Я о том же.
Vasilevich2010 разбил $x$ на множители так: $x=3mx_1$, его право. И при таком разбиении его равенство верно.
Но тогда должна быть ещё тройка в $m$ или $x_1$, и выражение слева будет целым.

[Vasilevich2010]

Уважаемые господа ! Пока что я не вижу указаний на неясности и ошибки в моём доказательстве Простейшего случая ВТФ. Я потому и назвал его простейшим случаем, что по исходному предположению $x$ делится только на $3^1$, так что случаи $x$ делящегося на $3^i$ при $i>1$ тут не причём. На тот факт, что из приведенного доказательства с очевидностью не следует, что ВТФ верна и при $x$ делящемся на $3^2$ и большей степени уже давно указала Shwedka. Оно и понятно – все такие $x$ исключены из рассмотрения исходным предположением. Так что все Ваши замечания к рассмотренному случаю не имеют отношения.
Замечу, что приведенное доказательство элементарно и доступно для любого выпускника средней школы и оно на мноооого проще, чем доказательство этого же случая у Л.Эйлера. Что бы Вы не тратили время на обвинения меня в зазнайстве подчеркну, что я сравниваю не себя с Эйлером, а своё доказательство с Его. А это, согласитесь, совершенно разные вещи.
Дед.

[12d3]

Vasilevich2010 в сообщении #299372 писал(а):

Оно и понятно – все такие $x$ исключены из рассмотрения исходным предположением

При том, что:
а) это предположение нигде в вашем доказательстве указано не было.
б) вы сделали вывод о неразрешимости уравнения $X^3+Y^3=Z^3$ в самом общем случае.

[venco]

Тогда вы зря назвали его "простейшим" случаем, ибо простейший - это когда ни одно из оснований не делится на показатель степени. Доказывается ещё проще.

[Someone]

Где-то на нашем форуме я это уже видел... Или мне показалось?

[Гаджимурат]

venco в сообщении #299376 писал(а):

Тогда вы зря назвали его "простейшим" случаем, ибо простейший - это когда ни одно из оснований не делится на показатель степени. Доказывается ещё проще.

Совершенно справедливое замечание.И я еще раз повторю:ур-ние Ф. для простых степеней не имеет решений в целых числах,если кто-то из $xyz$ делится только на
на $p^1$. Искать доказательство необходимо для случаев,когда $xyz$ делится на
$p^2$ и более.

[ananova]

Гаджимурат в сообщении #299386 писал(а):

Искать доказательство необходимо для случаев,когда $xyz$ делится на
$p^2$ и более.

А если существуют обходные пути, то не обязательно искать, когда $xyz$ делится на
$p^2$ и более.

[anwior]

Vasilevich2010 в сообщении #299041 писал(а):

Рассмотрим утверждение П.Ферма при $n=3$.
Давно доказано, что в этом случае, если выполняется равенство $X^3+Y^3=Z^3$ при натуральных $Z;Y;X$, то должно выполняться и равенство $x^3+y^3=z^3$ при попарно взаимно простых $x:y:z$.
Предположим, что в натуральных попарно взаимно простых числах $x:y:z$ выполняется равенство $x^3+y^3=z^3$.
Утверждение 1. Должно быть $x+y-z=3t$ - $t$ – натуральное число.
Доказательство.
В соответствии с «малой» теоремой Ферма имеем $x^3-x=3A$;
$y^3-y=3B$; $z^3-z=3C$. С учётом того, что $x^3+y^3-z^3=0$ после сложения всех равенств получим что должно быть $x+y-z=3(C-B-A)=3t$; где $(C-B-A)=t$ – натуральное число.

Утверждение 3. Должно выполняться, например, $z-y=9m^3$:
$z-x=k^3$; $x+y=g^3$.
Для любых чисел $x;y;z$ справедливо равенство
$(x+y-z)^3= y^3+x^3-z^3+3(x+y)(z-x)(z-y)$. Так как в нашем случае $x+y-z=3t$; $ y^3+x^3-z^3 =0$, то должно быть
$t^3=\frac{(x+y)(z-x)(z-y)}{3^2}$.
Так как слева мы имеем $t^3$ - куб натурального числа, то число справа должно быть целым кубом, а это возможно при взаимно простых $(x+y);$ $(z-x):$ $(z-y)$ только если два из чисел $(x+y);(z-x);(z-y)$ являются кубами, а одно равно девяти кубам, то есть должно быть, например,
$z-y=9m^3$: $z-x=k^3$; $x+y=g^3$. Можно взять любое другое из этих чисел равным 9 кубам, на результате исследования это не отразится.

Доказательство Утверждения 3 не имеет доказательную силу, так как использует результат Утверждения 1, который, в свою очередь, сам доказан неверно.

[venco]

anwior в сообщении #299460 писал(а):

Доказательство Утверждения 3 не имеет доказательную силу, так как использует результат Утверждения 1, который, в свою очередь, сам доказан неверно.

А я не заметил ошибки...
Может, Вы поподробнее выскажетесь?

[anwior]

Vasilevich2010 в сообщении #299041 писал(а):

Рассмотрим утверждение П.Ферма при $n=3$.
Давно доказано, что в этом случае, если выполняется равенство $X^3+Y^3=Z^3$ при натуральных $Z;Y;X$, то должно выполняться и равенство $x^3+y^3=z^3$ при попарно взаимно простых $x:y:z$.
Предположим, что в натуральных попарно взаимно простых числах $x:y:z$ выполняется равенство $x^3+y^3=z^3$.
Утверждение 1. Должно быть $x+y-z=3t$ - $t$ – натуральное число.
Доказательство.
В соответствии с «малой» теоремой Ферма имеем $x^3-x=3A$;
$y^3-y=3B$; $z^3-z=3C$. С учётом того, что $x^3+y^3-z^3=0$ после сложения всех равенств получим что должно быть $x+y-z=3(C-B-A)=3t$; где $(C-B-A)=t$ – натуральное число.

В этом месте:
после сложения всех равенств получим...

[venco]

anwior в сообщении #299468 писал(а):

В этом месте:
после сложения всех равенств получим...

Ну эту неточность можно назвать маленьким умолчанием для стимуляции мыслительного процесса у читателей.
Идея-то правильная, а уж выбрать правильные знаки труда не составит.