Представляю первую
открытую Интернет-олимпиаду проекта “Приглашение в мир математики”. Участие в ней – это хорошая возможность поддержать себя в форме перед оффлайновыми олимпиадами, испытать удовольствие от решения красивых задач и, получить повод для гордости, показывая друзьям своё имя в списке победителей.
Задание олимпиады состоит из семи задач, правильное решение каждой задачи оценивается в 7 баллов. Присылайте решения по адресу:
intelmath@narod.ruПодведение итогов олимпиады состоится 2 марта 2010 года.
1.Игра со спичкамиВ двух коробках лежат спички.
Два игрока делают ходы по очереди. За один ход можно:
а) забрать одну спичку из первой коробки, или
б) забрать по одной спичке из обеих коробок, или
в) забрать две спички из второй коробки, или
г) переложить одну спичку из второй коробки в первую.
Выигрывает тот, кто оставляет обе коробки пустыми.
Кто (игрок, начинающий игру, или его соперник) выиграет, если игроки не делают ошибок и вначале в первой коробке 20 спичек, а во второй десять?
2.Пять квадратовЧисло 2010 представляется в виде суммы пяти последовательных квадратов:
Наименьшее число, которое можно представить в виде суммы пяти последовательных натуральных квадратов – число 55:
Как по виду числа определить, представляется ли оно в виде суммы пяти последовательных натуральных квадратов или нет?
3.Увеличение числаЕсли в натуральном числе, не делящемся на 10, перенести предпоследнюю цифру на первое место, оно увеличится в n>1 раз. Для каждого натурального n, для которого такое возможно, приведите пример искомого числа.
4.Простая дробьСогласно справочнику Гугла, 1 фунт равен 0,45359237 килограмма. Найдите простую дробь с минимальными числителем и знаменателем, значение которой отличается от этой десятичной дроби менее, чем на
5.Камень, Ножницы, БумагаВ игре «камень-ножницы-бумага» есть три фигуры. Камень считается сильнее Ножниц, Ножницы – сильнее Бумаги, а Бумага – сильнее Камня.
При игре вдвоём оба игрока одновременно выбрасывают на пальцах одну из фигур и, если они различны, определяется победитель. Если же выброшенные фигуры одинаковы – следует ещё одно выбрасывание, и так до выявления победителя.
При игре втроём игроки одновременно выбрасывают одну из фигур, и:
Если все три фигуры различны или все они одинаковы, следует перебрасывание;
Если один игрок выбросил более сильную фигуру, а два других – одинаковую, более слабую, то этот игрок объявляется победителем;
Если один игрок выбросил более слабую фигуру, а два других – одинаковую, более сильную, то далее следует определение победителя из этих двоих.
Сколько в среднем нужно провести выбрасываний, чтобы определить победителя среди троих игроков?
6.Что дальше? Продолжите последовательность:
5, 7, 11, 13, 15, 19, 21, 29, 31, …
7.Самоописывающее равенствоРавенство 1+2=3 интересно тем, что первое его слагаемое равно общему количеству чётных цифр, использованных в равенстве, второе слагаемое равно общему количеству нечётных цифр в нём, а сумма равна общему количеству цифр в этом равенстве.
Составьте равенство
A+B+C+D+E+F+G+H+I+J=K, где
Слагаемое A равно общему количеству нулей в этом равенстве;
Слагаемое B равно общему количеству единиц в этом равенстве;
Слагаемое C равно общему количеству двоек
и т.д.
Слагаемое J равно общему количеству девяток, а
Слагаемое K равно общему количеству цифр в этом равенстве.
Удачи!!!
, он у нас и задан.
![$$a_{n+1}=a_{n}+\max\left\{2, 2\left[ \frac{(5, a_n)}{5} \right] \sum_{i=1}^n \left[ \frac{(5, a_i)}{5} \right]+4\left[ \frac{(7, a_n)}{7} \right] \sum_{i=1}^n \left[ \frac{(7, a_i)}{7} \right]\right\}$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/1/ee1269da20a5bd4505ae3dda55f67da882.png "$$a_{n+1}=a_{n}+\max\left\{2, 2\left[ \frac{(5, a_n)}{5} \right] \sum_{i=1}^n \left[ \frac{(5, a_i)}{5} \right]+4\left[ \frac{(7, a_n)}{7} \right] \sum_{i=1}^n \left[ \frac{(7, a_i)}{7} \right]\right\}$$")
