2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Я провожу интернет-олимпиаду по математике, приглашаю всех!
Сообщение28.01.2010, 23:03 
Аватара пользователя


17/05/08
358
Анк-Морпорк
Представляю первую открытую Интернет-олимпиаду проекта “Приглашение в мир математики”. Участие в ней – это хорошая возможность поддержать себя в форме перед оффлайновыми олимпиадами, испытать удовольствие от решения красивых задач и, получить повод для гордости, показывая друзьям своё имя в списке победителей.

Задание олимпиады состоит из семи задач, правильное решение каждой задачи оценивается в 7 баллов. Присылайте решения по адресу: intelmath@narod.ru
Подведение итогов олимпиады состоится 2 марта 2010 года.

1.Игра со спичками
В двух коробках лежат спички.

Два игрока делают ходы по очереди. За один ход можно:
а) забрать одну спичку из первой коробки, или
б) забрать по одной спичке из обеих коробок, или
в) забрать две спички из второй коробки, или
г) переложить одну спичку из второй коробки в первую.
Выигрывает тот, кто оставляет обе коробки пустыми.

Кто (игрок, начинающий игру, или его соперник) выиграет, если игроки не делают ошибок и вначале в первой коробке 20 спичек, а во второй десять?

2.Пять квадратов
Число 2010 представляется в виде суммы пяти последовательных квадратов:
$2010=18^2+19^2+20^2+21^2+22^2$

Наименьшее число, которое можно представить в виде суммы пяти последовательных натуральных квадратов – число 55:
$55=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$

Как по виду числа определить, представляется ли оно в виде суммы пяти последовательных натуральных квадратов или нет?

3.Увеличение числа
Если в натуральном числе, не делящемся на 10, перенести предпоследнюю цифру на первое место, оно увеличится в n>1 раз. Для каждого натурального n, для которого такое возможно, приведите пример искомого числа.

4.Простая дробь
Согласно справочнику Гугла, 1 фунт равен 0,45359237 килограмма. Найдите простую дробь с минимальными числителем и знаменателем, значение которой отличается от этой десятичной дроби менее, чем на $2\cdot10^{-5}$

5.Камень, Ножницы, Бумага
В игре «камень-ножницы-бумага» есть три фигуры. Камень считается сильнее Ножниц, Ножницы – сильнее Бумаги, а Бумага – сильнее Камня.

При игре вдвоём оба игрока одновременно выбрасывают на пальцах одну из фигур и, если они различны, определяется победитель. Если же выброшенные фигуры одинаковы – следует ещё одно выбрасывание, и так до выявления победителя.

При игре втроём игроки одновременно выбрасывают одну из фигур, и:
Если все три фигуры различны или все они одинаковы, следует перебрасывание;
Если один игрок выбросил более сильную фигуру, а два других – одинаковую, более слабую, то этот игрок объявляется победителем;
Если один игрок выбросил более слабую фигуру, а два других – одинаковую, более сильную, то далее следует определение победителя из этих двоих.

Сколько в среднем нужно провести выбрасываний, чтобы определить победителя среди троих игроков?

6.Что дальше?
Продолжите последовательность:
5, 7, 11, 13, 15, 19, 21, 29, 31, …

7.Самоописывающее равенство
Равенство 1+2=3 интересно тем, что первое его слагаемое равно общему количеству чётных цифр, использованных в равенстве, второе слагаемое равно общему количеству нечётных цифр в нём, а сумма равна общему количеству цифр в этом равенстве.

Составьте равенство
A+B+C+D+E+F+G+H+I+J=K, где
Слагаемое A равно общему количеству нулей в этом равенстве;
Слагаемое B равно общему количеству единиц в этом равенстве;
Слагаемое C равно общему количеству двоек
и т.д.
Слагаемое J равно общему количеству девяток, а
Слагаемое K равно общему количеству цифр в этом равенстве.

Удачи!!!

 Профиль  
                  
 
 Текущие комментарии по ходу открытой интернет-олимпиады
Сообщение13.02.2010, 20:38 
Аватара пользователя


17/05/08
358
Анк-Морпорк
По количеству участников лидирует мой родной форум по Цивилизации

Задача 6 с последовательностью оказалась самой сложной, судя по текущему объёму полученных сообщений. Поэтому прокомментирую прежде всего её.

Собственно, сама последовательность без всяких подвохов, правило чисто математическое. Сам вопрос можно сформулировать и так:
“У чисел из этой последовательности есть одно общее свойство. Продолжите её.”
5, 7, 11, 13, 15, 19, 21, 29, 31, …

Принимая решения этой задачи, я стараюсь следовать духу математического марафона, в котором сам принимал участие. В частности: если у вас имеется последовательность из n членов и вы как общий закон её построения предлагаете многочлен степени n-1, такой ответ не может быть принят. Также не может быть принят метод нахождения n-1 разностей между соседними членами последовательности и зацикливание их.

По моему мнению, признаком того, что вы нашли правило, может служить тот факт, что это же правило могло дать нам меньшее число членов последовательности, а остальные члены используются для контроля правильности. Хорошее правило должно быть красивым. Если вы находите красивое правило, отличающееся от загаданного – оно оценится также в полные 7 баллов. Я готов к обсуждению.

По задаче 2 про сумму квадратов: вашим результатом должен быть метод, позволяющий отличить числа, представимые в виде суммы 5ти квадратов от остальных.

Ещё одно: некоторые товарищи порешали задачи, а в ЛС или на почту решения не высылают. Поддержите, пожалуйста, олимпиаду :)

В любом случае, до 2 марта времени ещё полно, так что удачи всем!

Приветствуются комментарии и вопросы (кроме публикации в открытом виде решений и ответов). Nataly-Mak, вот вы хотели обсудить разностный метод построения закономерности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Текущие комментарии по ходу открытой интернет-олимпиады
Сообщение16.02.2010, 07:53 
Заблокирован
Аватара пользователя


22/03/08

7154
Саратов
Да, я хотела задать вопрос специалистам, почему нельзя задать последовательность так, как она задана у меня.

Я строю последовательность так:

Код:
5, 7, 11, 13, 15, 19, 21,
29, 31, 35, 37, 39, 43, 45,
53, 55, 59, 61, 63, 67, 69,
77, 79, 83, 85, 87, 91, 93, ...

Очевидно, что закономерность в этой последовательности имеется. Я даже написала формулы для всех членов последовательности для $n = 0, 1, 2, 3, ...$

Таких формул 7 - для 7 групп членов, которые циклически повторяются. Вот эти формулы:

a_{7n+2} = a_{7n+1} + 2

a_{7n+3} = a_{7n+2} + 4

a_{7n+4} = a_{7n+3} + 2

a_{7n+5} = a_{7n+4} + 2

a_{7n+6} = a_{7n+5} + 4

a_{7n+7} = a_{7n+6} + 2

a_{7n+8} = a_{7n+7} + 8

При этом надо считать заданным только первый член последовательности
a_1 = 5, он у нас и задан.

Так почему определённая мной последовательность не имеет права на существование?
Ведь заданы формулы, которые позволяют вычислить любой член последовательности, начиная со второго.

 Профиль  
                  
 
 Re: Текущие комментарии по ходу открытой интернет-олимпиады
Сообщение16.02.2010, 09:46 


10/10/09
89
Думаю, можно построить синусоиду через эти числа или др. функцию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Текущие комментарии по ходу открытой интернет-олимпиады
Сообщение16.02.2010, 11:15 


10/10/09
89
Можно, ещё обратить внимание на разность двух соседних чисел - степени двойки:
2,4,2,2,4,2,8,2
можно продолжить этот ряд следующим образом:
2,4,2,2,4,2,8,2;2,2,8,2,16,2,2,2,2,16,2
Порождающим число, очевидно будет 5 и ещё 2 и 4 - три параметра (можно ограничится и двумя - 5 и 2, построение, думаю понятно).

-- Вт фев 16, 2010 12:16:24 --

Можно свести и к одному параметру, например 5=2*n+1, где n=2.

 Профиль  
                  
 
 Re: Текущие комментарии по ходу открытой интернет-олимпиады
Сообщение16.02.2010, 11:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5413
Нов-ск
Следующая простая формула позволяет всего лишь по первому члену последовательности найти все остальные
$$a_{n+1}=a_{n}+\max\left\{2, 2\left[ \frac{(5, a_n)}{5} \right] \sum_{i=1}^n \left[ \frac{(5, a_i)}{5} \right]+4\left[ \frac{(7, a_n)}{7} \right] \sum_{i=1}^n \left[ \frac{(7, a_i)}{7} \right]\right\}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Текущие комментарии по ходу открытой интернет-олимпиады
Сообщение16.02.2010, 11:58 
Заблокирован
Аватара пользователя


22/03/08

7154
Саратов
Цитата:
Следующая простая формула позволяет всего лишь по первому члену последовательности найти все остальные...

Совсем простая формула :)

Однако никто не дал точного ответа на мой вопрос: имеет ли право на существование определённая мной последовательность? Если нет, то почему.

Эта последовательность не принята ведущим олимпиады как верное решение поставленной задачи. Но он так и не смог убедить меня в том, что это действительно неверное решение.

Была поставлена задача: продолжить последовательность. И приведены первые 9 членов последовательности. Я составила последовательность, в которой точно такие же 9 первых членов. Далее последовательность продолжена по определённому закону. Что неправильно в этом решении?

 Профиль  
                  
 
 Re: Текущие комментарии по ходу открытой интернет-олимпиады
Сообщение16.02.2010, 12:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5413
Нов-ск
Nataly-Mak в сообщении #289469 писал(а):
Что неправильно в этом решении?
Неправильно то, что не обнаружена закономерность в приведённой в условии части последовательности.

-- Вт фев 16, 2010 13:44:50 --

General в сообщении #287661 писал(а):
По задаче 2 про сумму квадратов: вашим результатом должен быть метод, позволяющий отличить числа, представимые в виде суммы 5ти квадратов от остальных.
Каким методом можно отличить число, являющеся квадратом, от остальных?

 Профиль  
                  
 
 Re: Текущие комментарии по ходу открытой интернет-олимпиады
Сообщение16.02.2010, 13:04 
Заблокирован
Аватара пользователя


22/03/08

7154
Саратов
Цитата:
Неправильно то, что не обнаружена закономерность в приведённой в условии части последовательности.

Как же? В приведённой в условии части последовательности точно такая же закономерность, как в составленной мной последовательности, ибо эта часть точно совпадает с такой же частью моей последовательности.

Моя последовательность вполне закономерна, она задана математическими формулами для всех её членов.

Вполне допускаю, что автором последовательности задумана другая закономерность. Однако это не запрещает решающим задачу придумывать свои закономерности.

Считаю, что данная задача вообще сформулирована некорректно и допускает не единственное решение, что "не есть хорошо" для олимпиадной задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Текущие комментарии по ходу открытой интернет-олимпиады
Сообщение16.02.2010, 13:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5413
Нов-ск
Nataly-Mak в сообщении #289478 писал(а):
Как же? В приведённой в условии части последовательности точно такая же закономерность, как
Какая именно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Текущие комментарии по ходу открытой интернет-олимпиады
Сообщение16.02.2010, 13:29 
Заблокирован
Аватара пользователя


22/03/08

7154
Саратов
TOTAL в сообщении #289480 писал(а):
Nataly-Mak в сообщении #289478 писал(а):
Как же? В приведённой в условии части последовательности точно такая же закономерность, как
Какая именно?

Она описана формулами. Или формулы не есть закономерность?

 Профиль  
                  
 
 Re: Текущие комментарии по ходу открытой интернет-олимпиады
Сообщение16.02.2010, 13:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5413
Нов-ск
Nataly-Mak в сообщении #289481 писал(а):
Она описана формулами.
Какая закономерность описана формулами?

 Профиль  
                  
 
 Re: Текущие комментарии по ходу открытой интернет-олимпиады
Сообщение16.02.2010, 13:44 


10/10/09
89
Мне кажется, что если формула позволяет построить последовательность, то закономерность для этой последовательности найдена.
General в сообщении #287661 писал(а):
По задаче 2 про сумму квадратов: вашим результатом должен быть метод, позволяющий отличить числа, представимые в виде суммы 5ти квадратов от остальных.

Минимальное число 5 - сумма 5-ти единиц.
Далее:
Сумма из единиц и четвёрок:
5,8,11,14,17,20
20 - сумма 5-ти четвёрок.
Сумма из единиц и девяток:
5,13,21,29,37,45
Сумма из единиц и шестнадцати:
5,20,35,50,65,80
Надо подумать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Текущие комментарии по ходу открытой интернет-олимпиады
Сообщение16.02.2010, 14:15 
Заблокирован
Аватара пользователя


22/03/08

7154
Саратов
TOTAL в сообщении #289482 писал(а):
Nataly-Mak в сообщении #289481 писал(а):
Она описана формулами.
Какая закономерность описана формулами?


Вы не умеете читать формулы?

Хорошо, объясняю на пальцах.
Разности между соседними членами последовательности равны: 2, 4, 2, 2, 4, 2, 8. И это циклически повторяется для всех следующих членов последовательности.
Второй член равен первому члену (который нам задан) плюс 2, третий член равен второму члену плюс 4, четвёртый член равен третьему члену плюс 2 и т. д.
Теперь понятно?

Ведущий олимпиады назвал этот метод составления последовательности "разностным методом".

 Профиль  
                  
 
 Re: Текущие комментарии по ходу открытой интернет-олимпиады
Сообщение16.02.2010, 14:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5413
Нов-ск
fer1800 в сообщении #289484 писал(а):
Мне кажется, что если формула позволяет построить последовательность, то закономерность для этой последовательности найдена.
Нет там никакой формулы и никакой закономерности. Там записаны пустые утверждения типа
$a_{n+1}=a_{n} + (a_{n+1}-a_{n})$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 37 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: worm2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group