Я провожу интернет-олимпиаду по математике, приглашаю всех!

[Nataly-Mak]

Но позвольте! Как это нет формул? А это что?

Цитата:

Я написала формулы для всех членов последовательности для $n = 0, 1, 2, 3, ...$

Таких формул 7 - для 7 групп членов, которые циклически повторяются. Вот эти формулы:

a_{7n+2} = a_{7n+1} + 2 a_{7n+3} = a_{7n+2} + 4 a_{7n+4} = a_{7n+3} + 2 a_{7n+5} = a_{7n+4} + 2 a_{7n+6} = a_{7n+5} + 4 a_{7n+7} = a_{7n+6} + 2 a_{7n+8} = a_{7n+7} + 8

При этом надо считать заданным только первый член последовательности
a_1 = 5, он у нас и задан.

При $n=0$ имеем:
a_2 = a_1 + 2 = 5 + 2 = 7 a_3 = a_2 + 4 = 7 + 4 = 11 ...

Почему же это не формулы? Как-то странно вы говорите, товарищ TOTAL!

[fer1800]

Итак.
Пусть дано число D
$D=a^2+b^2+c^2+d^2+e^2$, где
a>=b>=c>=d>=e
Ясно, что $5a^2>=D>a^2$
Обозначим
$m_1=[\sqrt {\frac {D}5}]$,
$m_2=[\sqrt {D}]$,
тогда
$m_2>a>=m_1$
Мы можем перебрать значения для a. Очевидно их меньше $3m_1$
Найдя a, можно продолжить поиск дальше.
Очевидно, что число переборов будет менее $37m_1$

[TOTAL]

Nataly-Mak в сообщении #289495 писал(а):

Почему же это не формулы?

И чем же они отличаются от "формул" $a_{n+1}=a_{n} + (a_{n+1}-a_{n})$?

[Nataly-Mak]

TOTAL в сообщении #289497 писал(а):

Nataly-Mak в сообщении #289495 писал(а):

Почему же это не формулы?

И чем же они отличаются от "формул" $a_{n+1}=a_{n} + (a_{n+1}-a_{n})$?

А тем, уважаемый TOTAL, что приведённая вами формула не даёт возможности вычислить (n+1)-ый член последовательности по n-ому члену, а мои формулы позволяют это сделать.

Разве это не очевидно?

[fer1800]

fer1800 в сообщении #289496 писал(а):

Итак.
Пусть дано число D
$D=a^2+b^2+c^2+d^2+e^2$, где
a>=b>=c>=d>=e
Ясно, что $5a^2>=D>a^2$
Обозначим
$m_1=[\sqrt {\frac {D}5}]$,
$m_2=[\sqrt {D}]$,
тогда
$m_2>a>=m_1$
Мы можем перебрать значения для a. Очевидно их меньше $3m_1$
Найдя a, можно продолжить поиск дальше.
Очевидно, что число переборов будет менее $37m_1$

Есть ещё один признак:
существует такое число k, что
D+2k - квадрат числа и
D-2k - квадрат числа.
Очевидно
$k<\frac {\sqrt{D}}{2}$

[General]

TOTAL

Цитата:

Каким методом можно отличить число, являющеся квадратом, от остальных?

Принимаем эту операцию элементарной. В крайнем случае, можно корень извлечь и на бумаге.

Nataly-Mak, fer1800
По поводу нахождения разностей - именно из-за того, что видя разности, вы не будете знать точно, как их нужно продлить: то ли просто зациклить, то ли повышать степени двойки, то ли ещё как.
Информация о продолжении последовательности уже однозначно заложена в выписанных членах, нужно только её найти.

Приведу пример. Допустим, нужно продолжить последовательность 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...
Если найти разности, получим: 2, 2, 4, 2, 4, 2.
Является ли последняя двойка началом цикла (2, 2, 4, 2, 4) или цикла (4, 2), или дальше пойдёт уже 8, 4, 2, 8, 4, 2 - мы сказать не можем, информации маловато. А зато если увидеть, что выписаны нечётные простые числа, то сомнений в продолжении последовательности не остаётся.

fer1800, вы в условии, видимо, упустили одну деталь.

И решения в ЛС пишите, пожалуйста, олимпиада ещё идёт.

[TOTAL]

Nataly-Mak в сообщении #289499 писал(а):

TOTAL в сообщении #289497 писал(а):

Nataly-Mak в сообщении #289495 писал(а):

Почему же это не формулы?

И чем же они отличаются от "формул" $a_{n+1}=a_{n} + (a_{n+1}-a_{n})$?

А тем, уважаемый TOTAL, что приведённая вами формула не даёт возможности вычислить (n+1)-ый член последовательности по n-ому члену, а мои формулы позволяют это сделать.

Разве это не очевидно?

Мои "формулы" тоже позволяют. Достаточно вместо $(a_{n+1}-a_{n})$ подставить конкретные значения из условия. Вы сделали именно это, только это и ничего другого.

-- Вт фев 16, 2010 16:09:07 --

General в сообщении #289503 писал(а):

TOTAL

Цитата:

Каким методом можно отличить число, являющеся квадратом, от остальных?

Принимаем эту операцию элементарной. В крайнем случае, можно корень извлечь и на бумаге.

На бумаге заодно и проверим, является ли число суммой пяти последовательных квадратов.

[fer1800]

по первой задаче.
Можно всю последовательность сдвинуть на два (уменьшить числа), тогда она будет состаять из степеней тройки и соседних простых чисел.

[Nataly-Mak]

Цитата:

Мои "формулы" тоже позволяют. Достаточно вместо подставить конкретные значения из условия. Вы сделали именно это, только это и ничего другого.

И что же? Разве запрещено пользоваться условиями задачи?

Вот, например, последовательность:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, ...

Эту последовательность можно задать так:

a_n = 2n, $n = 1, 2, 3, ...$

Можно задать и так:

a_1 = 2
a_{n+1} = a_n + 2, $n = 1, 2, 3, ...$

Надеюсь, это правильно? Но здесь тоже использовано условие, что разность между соседними членами последовательности равна 2. То есть тот же самый "разностный метод".

А разве вот так нельзя задать:

a_1 = 2
a_{3n+2} = a_{3n+1} + 2
a_{3n+3} = a_{3n+2} + 2
a_{3n+4} = a_{3n+3} + 2

$n = 0, 1, 2, 3, ...$

Что неправильно?

А ваша формула выражает следующее:

a_n = a_n

Это можно назвать формулой для любого члена последовательности?
И ёжик знает, что 10-ый член последовательности равен 10-ому члену этой же последовательности, а 11-ый член равен 11-ому, а 20-ый равен 20-ому.

-- Ср фев 17, 2010 07:42:55 --

fer1800 в сообщении #289508 писал(а):

по первой задаче.
Можно всю последовательность сдвинуть на два (уменьшить числа), тогда она будет состаять из степеней тройки и соседних простых чисел.

Ещё одно решение

Вопрос к ведущему олимпиады:

Вы написали, что числа последовательности, данной в условии задачи, обладают некоторым общим свойством.
Для этой последовательности можно написать общую формулу (формулы), позволяющую вычислить любой член последовательности? Или это общее свойство можно только описать словами?

Например, в последовательности, состоящей из чисел Смита, тоже все числа обладают одним общим свойством. Однако общей формулы для членов этой последовательности нет (насколько мне известно).

[General]

По моему мнению, хороший тон в загадывании последовательности состоит в том, чтобы разгадывающий мог догадаться о закономерности даже по меньшему на один-два числу членов, а остальные - использовать для проверки.

В приведённой вами последовательности чётных чисел, гипотеза про постоянство разности могла быть выдвинута сразу после анализа первых трёх чисел, а остальные её подтверждают. Что до загаданной мною, или последовательности нечётных простых, мы до самого конца известных членов не можем быть уверены, как дальше разовьётся последовательность разностей.

[Nataly-Mak]

Цитата:

По моему мнению, хороший тон в загадывании последовательности состоит в том, чтобы разгадывающий мог догадаться о закономерности даже по меньшему на один-два числу членов, а остальные - использовать для проверки.

То есть вы хотите сказать, что в загаданной вами последовательности можно убрать 2-3-4 члена, и всё равно закономерность можно установить?

Как я понимаю, в решении вашей задачи разностный метод отвергается по той причине, что нет никакой гарантии, что эти разности и дальше будут так же повторяться. Правильно?

Но коль скоро вы задали 9 членов последовательности, я имею полное право опираться на те связи, которые между ними существуют, и проиндуцировать эти связи на следующие члены последовательности. Что я и сделала.

[TOTAL]

Nataly-Mak в сообщении #289746 писал(а):

Что я и сделала.

Вы не нашли закономерности внутри заданной последовательнрости.

[General]

Цитата:

Как я понимаю, в решении вашей задачи разностный метод отвергается по той причине, что нет никакой гарантии, что эти разности и дальше будут так же повторяться. Правильно?

Нет, не по той. А по той, что основываясь на текущих разностях вы сами не сможете сказать однозначно, как этот ряд продолжить.

[kahey]

Nataly-Mak
автор задания, по видимому, просит найти такую последовательность, которую нельзя описать при помощи формул, а описывается на свойствах чисел, в неё входящих.

[General]

Хотите по формулам - пожалуйста, ищите формулу. Но формула должна однозначно логически выводиться из данных чисел.