доказать неограниченность производной у неограниченной ф-ции

[alexey007]

Доказать, что если f(x) - дифференцируема, но не ограниченна, на конечном интервале (a,b), то ее производная так же неограниченна на интервале (a,b).(Привести пример)

[ewert]

Для определённости предположите, что по некоторой последовательности точек $x_n\to b$ выполнено $f(x_n)\to+\infty$. Выберите подпоследовательность, для которой $f(x_{n_{k+1}})-f(x_{n_{k}})>1\ (\forall k)$, и примените к интервалам $(x_{n_{k}};\,x_{n_{k+1}})$ теорему Лагранжа.

[AD]

Слишком сложно imho.

$$|f(x)-f(x_0)|=|f'(t)(x-x_0)|\le\sup\limits_{t\in(a,b)}|f'(t)|\cdot (b-a)$$

(та же теорема Лагранжа), так что если производная ограничена - то и функция ограничена.

[Sasha2]

А еще проще наверно просто наряду с исходной функцией рассмотреть и другую функцию, равную исходной внутри интервала и пределам исходной на его концах.

[AD]

Sasha2 в сообщении #278278 писал(а):

равную исходной внутри интервала и пределам исходной на его концах.

Если функция неограничена, то некоторых пределов заведомо нет. Если ограничена - тоже не факт. Так что не понял Вас.

[Sasha2]

Да просто я не внимательно условие прочел.

[alexey007]

Приведите пример пожалуйста такой функции, а то я чет совсем не могу допереть. Такой вот простой пример нормально будет $f(x)=a/(x-b)$? Хотел бы по интересней пример привести. Спасибо ewert за доказательство и всем кто ответил. Очень интересно учиться стало, когда я этот форум для себя открыл. Ладно чет на лирику потянуло.......

[AD]

alexey007 в сообщении #278575 писал(а):

Такой вот простой пример нормально будет $f(x)=a/(x-b)$?

Ну он немного странно выглядит в случае $a=0$. Можно просто $f(x)=\frac1{b-x}$.