Основания математики - элементарное рассмотрение

[vek88]

Someone в сообщении #277219 писал(а):

vek88 в сообщении #277198 писал(а):

А Вам известно очевидное и простое изложение оснований математики?

Излагайте.

Кстати, "What are you?"

Вы не ошиблись форумом?

Я не ставил своей задачей построение оснований математики. Однако когда-то в процессе своей основной деятельности мне пришлось разбираться с семантикой, парадоксами и т.д. Поэтому пришлось кое в чем разобраться.

По поводу Who's me ... все, что считал нужным, сообщил при регистрации на форуме. Коротко: I'm a freelancer.

Перед тем как открыть эту тему, я посмотрел другие темы на форуме. Поэтому уверен, что не ошибся и форумом и темой.

-- Вс янв 03, 2010 19:46:13 --

Lyosha в сообщении #277225 писал(а):

vek88 в сообщении #277216 писал(а):

Lyosha в сообщении #277207 писал(а):

А у определения, как мне представляется, другая функция: короткое наименованее длинно описываемой ситуации(объекта).

Рад, что меня не втянули в какой-нибудь формализм. А если неформально, так ведь мы с Вами об одном и том же. Ведь если отвлечься от различных формализмов, определение содержит две части: (1) описание ситуации (объекта) и (2) и некоторую вновь определяемую ситуацию (свойство, объект, множество). Другими словами, посылки и следствие - если выполнены посылки, то выполнено и следствие (имеет место определяемая ситуация, некий элемент принадлежит определяемому множеству и т.д.).

Пример 1. Я определяю множество $A$ определением: $A \in A$ если $A \notin A$.

Пример определения.Сторона прямоугольного треугольника,лежащая напротив прямого угла(и чтобы не таскать за собой эту длинную фразу,говорят...),называется гипотенузой.

В пункте (2) не может быть "вновь определяемую",ибо в (1) определяемый термин уже описан!

Ну что ж это Вы, батенька, такое говорите. В посылке фигурирует "Сторона прямоугольного треугольника,лежащая напротив прямого угла". А Ваше определение вводит новое понятие "гипотенуза" - а именно, что гипотенуза - это сторона прямоугольного ... .

Да, Ваше определение типичное "определение для сокращения", но суть та же.

[Lyosha]

vek88 в сообщении #277216 писал(а):

Кстати, наличие парадокса в некоторой системе определений, означает некорректность этой системы определений.

Не в системе определений,а в системе аксиом!

vek88 в сообщении #277216 писал(а):

А потом пришел уважаемый Бертран Рассел и придумал себе трудность, т.е. определил еще одно множество $R$ определением: $x \in R$ если $x \notin R$.

Рассел был логиком и по-видимому знал свой предмет хорошо.Он не мог такое написать,т.к. это нарушало бы один из основных законов логики(кажется заон непротиворечия).Он,в согласии с наивными представлениями,рассмотрел множество:$R$ содержит все несамосодержащие множества и только их,а уже потом из этого вывел
$R \in R$ и $R \notin R$.

[vek88]

Lyosha в сообщении #277239 писал(а):

Не в системе определений,а в системе аксиом!

Рассел был логиком и по-видимому знал свой предмет хорошо.Он не мог такое написать,т.к. это нарушало бы один из основных законов логики(кажется заон непротиворечия).Он,в согласии с наивными представлениями,рассмотрел множество:$R$ содержит все несамосодержащие множества и только их,а уже потом из этого вывел $R \in R$ и $R \notin R$.

Вы, видимо, заметили, что я обронил фразу "если отвлечься от различных формализмов". И это было не зря. Отмеченные Вами "недоразумения" возникают из-за отсутствия единства в используемом формализме. Так что мне придется все-таки немного конкретизировать некоторые формальности.

Итак, далее в нашем с Вами обсуждении больше никаких определений - только правила вывода (см. стандартные определения). Состоят из посылок и заключения. Правило вывода без посылок называется аксиомой.

Так лучше? "Только их" теперь говорить не надо, т.к. $R$ - определяемое множество - входит в заключение единственного правила (это правило вводит, или определяет, множество $R$).

[Виктор Викторов]

vek88 в сообщении #277198 писал(а):

А Вам известно очевидное и простое изложение оснований математики?

А. А. Френкель, И. Бар-Хиллел «Основания теории множеств»,
а до этой книги хорошо бы прочитать Abraham A. Fraenkel “Abstract Set Theory”.

[vek88]

Виктор Викторов в сообщении #277255 писал(а):

vek88 в сообщении #277198 писал(а):

А Вам известно очевидное и простое изложение оснований математики?

А. А. Френкель, И. Бар-Хиллел «Основания теории множеств»,
а до этой книги хорошо бы прочитать Abraham A. Fraenkel “Abstract Set Theory”.

Кстати, добавил бы сюда Гильберт Д., Бернайс П. "Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики." 1982 г.

Но мы зациклились на некоторое время на этом вопросе не из потребности что-то прочитать, а из-за разногласий по поводу процитированного мной высказывания Гильберта от 1925 г. Кое кто счел Гильберта устаревшим. Тот факт, что С.И.Адян счел возможным издать упомянутую книгу Гильберта и Бернайса в 1982 г. (через 16 лет после выхода русского перевода книги А. А. Френкель, И. Бар-Хиллел «Основания теории множеств»), подтверждает актуальность высказываний Гильберта об основаниях математики и по сию пору.

[Lyosha]

vek88
А почему не надо говорить "только их"?Без этой фразы противоречия не получается.Т.е. будет истинно$R\in R$,а $R\notin R$ - ложно!

[vek88]

Lyosha в сообщении #277268 писал(а):

vek88
А почему не надо говорить "только их"?Без этой фразы противоречия не получается.Т.е. будет истинно$R\in R$,а $R\notin R$ - ложно!

Очень хорошо, что Вы не принимаете ничего на веру. На самом деле, у нас опять дыра в формализме. Хотя попробую пока обойтись без углубления в формализм. Интересно, заметите ли Вы это?

Итак, что мы можем установить без уточнения формализма. В заключении у нас $R \in R$. Оно истинно, если посылка $R \notin R$ истинна (по смыслу логического вывода). В свою очередь эта посылка истинна, если и только если (по обычному смыслу отрицания) $R \in R$ ложно.

С учетом сказанного мы не можем приписать значение ЛОЖЬ выражению $R \in R$ - иначе мы бы доказали истинность $R \in R$.

Но мы также не можем приписать этому выражению и значение ИСТИНА - поскольку (по смыслу логического вывода) это значение может быть приписано только в процессе логического вывода (с помощью аксиом и правил вывода). А единственный способ это вывести (поскольку символ $R$ - находится в заключении единственного правила вывода) предположить истинность $R \notin R$, т.е. ложность $R \in R$.

И заметьте, что при нашем способе рассуждений мы не получаем противоречия, если не постулируем справедливость классической логики. Мы просто устанавливаем НЕРАЗРЕШИМОСТЬ $R \in R$. Следовательно, наше "определение" (пардон, правило вывода для $R$) $R$ выводит нас за рамки теории множеств.

И все? И все.

С уважением,
vek88

P.S. Уважаемые коллеги! Не могу обещать, что я найду сегодня время ответить еще на какие-либо вопросы. Беру тайм-аут до завтра.

[Lyosha]

vek88
$R\in R$ можно вывести двумя способами предположив $R\notin R$:1.по свойству множества$R$,т.к. оно содержит все несамосодержащие множества;2.методом доказательства от противного(из посылки $R\notin R$ получили противоречие,а значит она ложна).Вот как раз метод от противного и позволяет утверждать истинность $R\in R$ при условии,что $R$ содержит не только $x\notin x$.

[vek88]

Lyosha в сообщении #277293 писал(а):

vek88
$R\in R$ можно вывести двумя способами предположив $R\notin R$:1.по свойству множества$R$,т.к. оно содержит все несамосодержащие множества;2.методом доказательства от противного(из посылки $R\notin R$ получили противоречие,а значит она ложна).Вот как раз метод от противного и позволяет утверждать истинность $R\in R$ при условии,что $R$ содержит не только $x\notin x$.

Нетушки, Lyosha!

Мы договорились об использовании формализма логического вывода с помощью аксиом и правил вывода, но мы не договаривались об использовании классической логики. Таким образом, если из предположения $R\notin R$ следует $R\in R$, это "всего лишь" означает, что утверждение $R\notin R$ не может быть истинным! Но оно может быть неразрешимым.

Еще раз напоминаю - либо ограничения на "определения" множеств, позволяющие интерпретировать эти определения в классической логике, либо забудьте о теории множеств.

Вот мы и докопались до важнейшей причины заблуждений о парадоксах теории множеств - мы хотели иметь две несовместимые вещи:

1. Классическую логику.

2. Ничем не ограниченную свободу определения множеств.

На самом же деле надо выбирать что-то одно.

Либо свобода, но тогда не удивляйтесь появлению неразрешимых утверждений.

Либо некоторая совершенно несущественная для математики несвобода, а за это фактическое торжество интуитивной теории множеств.

Короче, сейчас мне трудно понять, почему люди были так уперты и не могли понять такой простой вещи.

[Владимир Рогожин]

Someone в сообщении #277189 писал(а):

...С тех пор прошло 85 лет. Вы полагаете, что математики до сих пор находятся в растерянности?..

И 63 года назад: "Сейчас мы менее, чем когда-либо, уверены в первичных основаниях математики и логики. Мы переживаем свой ‘кризис’ подобно тому, как переживают его все и вся в этом мире... " (Г.Вейль "Математика и логика", 1946)
И сейчас уходят от "растерянности" тем же путем:
"...на мою математическую работу этот кризис оказал заметное практическое влияние: он направил мои интересы в области, которые я считал относительно "безопасными", и постоянно подтачивал энтузиазм и решимость, с которой я занимался своими исследованиями. Мой опыт, вероятно разделили и другие математики, небезразличные к тому, какое место их собственная научная деятельность занимает в этом мире, в общем контексте бытия человека, интересующегося, страдающего и созидающего..." (там же)

А уверенности "в первичных основаниях" не прибавилось... См. "Философия и основания математики" В.Перминов

[Someone]

vek88 в сообщении #277216 писал(а):

Пример 1. Я определяю множество $A$ определением: $A \in A$ если $A \notin A$.

Это не определение, а бред сивой кобылы. Нельзя определять термин через самого себя.

Определение $A=\{x:x\notin x\}$ совершенно законно и определяет класс множеств, не содержащих себя в качестве элемента. Ни к каким противоречиям такое определение не приводит. Противоречие возникает, если мы объявляем класс $A$ множеством.

vek88 в сообщении #277216 писал(а):

Рад, что меня не втянули в какой-нибудь формализм.

vek88 в сообщении #277237 писал(а):

По поводу Who's me ... все, что считал нужным, сообщил при регистрации на форуме. Коротко: I'm a freelancer.

Перед тем как открыть эту тему, я посмотрел другие темы на форуме. Поэтому уверен, что не ошибся и форумом и темой.

Явно ошиблись. И тем, и другим. Думаю, что в скором времени Вашу тему либо закроют, либо попрут куда-нибудь в "Свободный полёт". Ввиду полного отсутствия математики.

[vek88]

Someone в сообщении #277440 писал(а):

Нельзя определять термин через самого себя.

У-ти-пути, какие мы страшные. И ктой-то Вас научил, что термин нельзя определять через самого себя? Т.е. Вы изгоняете рекурсивные определения из Вашего "математического рая"? А уж про трансфинитную индукцию Вам даже и напоминать нельзя?

Пример классического (естественно, рекурсивного) определения множества натуральных чисел (для определенности) в каноническом исчислении Поста (см., например, Мартин-Леф, Очерки по конструктивной математике):

Знак: /
Вспомогательный знак: $N$
Переменная: $x$
Аксиома: $N$
Правило вывода: если $Nx$, то $Nx/$

В этом исчислении выводимы в точности слова вида $N$, $N/$, $N//$, ... , представляющие натуральные числа. При этом понятие натурального числа благополучно определялось через самого себя!

А все остальное, написанное Вами, уж точно не имеет отношения к математике. С этим хамством Вам надо явно куда-то в другое место.

[Xaositect]

И где же в индуктивных определениях объект определяется через самого себя? Там следующий объект определяется через предыдущие, и далее говорится о совокупности так определенных объектов - все законно.

[vek88]

Xaositect в сообщении #277447 писал(а):

И где же в индуктивных определениях объект определяется через самого себя? Там следующий объект определяется через предыдущие, и далее говорится о совокупности так определенных объектов - все законно.

Приведенный выше пример - это определение множества натуральных чисел, а не натуральных чисел как отдельных объектов. В частности, выводимость $Nx$ в этом каноническом исчислении означает содержательно, что $x \in N$.

Так как? Кто-нибудь еще считает, что данное определение не определяет множества натуральных чисел? Тогда мы идем к Вам.

[Xaositect]

Очень хорошо.
Определение такое: Множество натуральных чисел - это множество всех строк $x$ таких, что формула $Nx$ выводима в формальной системе с аксиомой(которую Вы забыли) $\vdash N$ и правилом вывода $Nx\vdash Nx|$.

В правой части определения множества натуральных чисел нет.