Несколько примеров и задача (уравнения)

[ProX]

1. $y=x^2+px+q; p+q=2009$. Найдите точку, в которой пересекаются все графики таких функций.

2. Решить в целых числах:
$(x^2-y^2)^2=1+16y$

3. Какое наибольшее число фишек можно поставить на клетки шахматной доски так, чтобы на любой горизонтали, вертикали и диагонали находилось чётное число фишек?

[AKM]

ProX в сообщении #261242 писал(а):

1. $y=x^2+px+q; p+q=2009$. Найдите точку, в которой пересекаются все графики таких функций.

Сами мы искать не будем (тоже правила соблюдаем, как и Вы с формулами), но подсказать Вам можем.
Я бы так взглянул на первую задачку:
Найдите точку, в которой пересекаются все графики функций $y=x^2+px+2009-p$. И далее, взявши для примера два каких-то значения $p_1,p_2$, подумал бы: а как обеспечить равенство

$$ (y_1=)\quad \underline{x^2+p_1x+2009-p_1= x^2+p_2x+2009-p_2}\quad(=y_2)\;?$$

[ИСН]

А я бы нарисовал 10-1000 графиков (зависит от подвластных вычислительных мощностей), а там бы уже думал, почему.

[ProX]

ИСН в сообщении #261267 писал(а):

А я бы нарисовал 10-1000 графиков (зависит от подвластных вычислительных мощностей), а там бы уже думал, почему.

не актуально столько рисовать...

[ИСН]

Тогда думайте сразу. Вон AKM написал, как.

[AKM]

Ну и как там у нас дела? Икс-квадраты слева и справа уже уничтожились?

[ProX]

а почему они должны сократиться? знаки же не разные

[EtCetera]

ProX
Как так разные? С чего бы вдруг?
$+x^2+p_1 x+2009-p_1=+x^2+p_2 x+2009-p_2$

[Sasha2]

А нет, да тут просто берем 1 ставим и получаем, что в точке 1 значение любого трехчлена из указанного семейства равно 1+p+q.

[AKM]

$${\color{red}\not}{x}^2+p_1(x-1)+2009={\color{red}\not}{x}^2+p_2(x-1)+2009$$

[Istego]

Нельзя ничего зачеркивать ! Можно только добавлять!

Если А=В, то А+с=В+с и т.д.

[ProX]

AKM в сообщении #261329 писал(а):

$${\color{red}\not}{x}^2+p_1(x-1)+2009={\color{red}\not}{x}^2+p_2(x-1)+2009$$

в обоих случаях один и тот же ответ?

[AKM]

Написавши это, мы видим (нам просто бросается в глаза!), что при х=1 там получается нолик, и каким бы ни было число $p$ (100,-5, 9999,$\sqrt8$,0,$p_1$,$p_{70}$ и проч.) --- оно этим ноликом убивается напрочь, и все эти функции в ЭТОЙ точке, в точке х=1, принимают одинаковое значение.
Осталось его вычислить, вычислить этот самый $y$.

[ewert]

Не так быстро. Надо произнести ещё несколько слов: что, дескать, при $x\ne1$ ничего хорошего не выйдет.

[RIP]

ProX в сообщении #261242 писал(а):

2. Решить в целых числах:
$(x^2-y^2)^2=1+16y$

Понятно, что $y\ge 0$ и $|x|\ne y$. Рассматривая случаи $|x|\le y-1$ и $|x|\ge y+1$, легко убедиться, что левая часть никак не меньше $cy^2$, $c>0$, откуда получаем оценку сверху на $y$.