непрерывная ф-ция на отрезке...

[Shtirlic]

Я ошибся! На интервале с хотя бы одним открытым концом такую функцию определить не сложно, то о чем говорит Ashley, скорее это и есть! А вот что касается отрезка, то я пришел к выводу, что это невозможно. Если участники обсуждения согласяться со мной что искомая функция цикличиская, где минимальная длина цикла стремиться к 0, то я приведу доказательство.

[Ashley]

Цитата:

На интервале с хотя бы одним открытым концом ,<..>, то о чем говорит Ashley, скорее это и есть

Честно говоря, нет

[Shtirlic]

Ashley
Тогда либо ваша функция имеет разрыв на этом отрезке, либо бесконечно раз она на нем контур квадрата не обегает, так как вы говорите о циклической функции! Как сяду за компьютер напишу почему это так для циклических функций. Хотя конечно может вы говорите об области математики в которой я совершенно ничего не понимаю.

[Someone]

Ashley прав со своим примером. Кривая Пеано действительно проходит через все точки квадрата, то есть, является непрерывным отображением $\varphi\colon [0,1]\xrightarrow{\text{на}}[0,1]^2$ (она так и строится). Проекция $\pi\colon[0,1]^2\xrightarrow{\text{на}}[0,1]$ на любой из сомножителей непрерывна и отображает в каждую точку отрезка континуум точек квадрата. Поэтому суперпозиция $f=\pi\varphi\colon[0,1]\to[0,1]$ является непрерывным отображением отрезка на себя, которое каждое значение принимает континуум раз.

[Shtirlic]

Someone
Ashley
А это точно функция, можете какой-нибудь пример привести???

-- Ср ноя 04, 2009 14:04:54 --

Я обещал доказательство, если где ошибся жду комментариев. Если для функции $y=f(x)$ не выполняется условие (1), что для каждого возможного y можно найти интервал стационарности по x (т.е. для каждого $y_0\epsilon E(y)$ существует отрезок [a,b] такой, что $f(x)=y_0 при x\epsilon [a,b]$ и $a\neg b$), и эта функция непрерывна на [a,b), и каждое значение функции на этом интервале повторяется бесконечно(2), то b никогда не будет входить в область определения функции $y=f(x)$.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Предположим что противное. Положим для простоты что для точки f(a) нет промежутка постоянности, но оно повторяется бесконечное множество раз, тогда отрезок [a,b] можно разбить на бесконечное множество отрезков точками $x_0,x_1,x_2,...$, такими что $f(a)=f(x_0)=f(x_1)=f(x_2)=...$, отсортируем эти отрезки в порядке возрастания, минимальная длина отрезка не может быть равна 0, т.к. тогда либо границы отрезка совпадут, либо нарушается условие (1). Рассмотрим последовательность u, первый элемент которой длина максимального отрезка, и дальше по обыванию. Тогда сумма этого ряда есть длина отрезка [a,b]. Если сумма есть бесконечность, то условие (2), тогда сумма имеет конечный предел, но она никогда его не достигает (т.к. все элементы положительны, то стремиться снизу). Тогда длина отрезка [a,b] стремиться к определенному значению, но недостигает его. Получаем противоречие.

[Shtirlic]

Может не совсем строго, но я думаю смысл понятен, если что нет объясню. И остается только один возможный вариант когда для каждого значения y есть промежуток постоянности.

[Someone]

Shtirlic в сообщении #258128 писал(а):

А это точно функция, можете какой-нибудь пример привести???

Точно функция. Пример кривой Пеано можно посмотреть в Википедии: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%B0%D1%8F_%D0%9F%D0%B5%D0%B0%D0%BD%D0%BE.

Собственно говоря, каждая из определённых там функций $f$ и $g$ и есть функция, принимающая каждое своё значение бесконечно много (континуум) раз. Правильность определения конкретно этих функций я не проверял, но кривая Пеано существует. Можно посмотреть ещё здесь: http://stratum.ac.ru/textbooks/kgrafic/additional/addit32.html или http://www.mathnet.ru/php/journal.phtml?wshow=paper&jrnid=mzm&paperid=3074&year=2006&volume=80&issue=5&fpage=643&lpage=656&option_lang=rus.

В рассуждении Вашем ничего не понял.

[Shtirlic]

Someone
Как я понял в вашем примере мы имеем дело с циклами, которое бесконечное множество. Потому что для меня функция это где каждому значению$x$ из области определения соответствует только одно значение функции $f(x)$. Так вот для простоты, если на отрезке функция не имеет промежутков постоянства и наше бесконечное повторение значений функции связанно с цикличностью функции (может правильнее будет что она представляет собой график колебания), то можно рассмотреть последовательность элементы которой будет длина одного полного колебая функции по оси OX (речь идет об отрезки определенной длины), в нашем случае эта последовательность будет бесконечно малой, а ряд из ее элементов будет стремиться к определенному значению, то есть к длине нашего отрезка, но достичь его он никогда не сможет (так как все элементы больше нуля). Что и говорит о том что мы не можем иметь дело с отрезком.

-- Ср ноя 04, 2009 18:01:52 --

Someone
И почему мне кажется что ваша функция будет иметь разрывы???

[Профессор Снэйп]

Обсуждали уже

[Shtirlic]

Someone
Почитал сейчас подробней про кривую Пеано, действительно похоже что подходит, я сначала не понял, думал речь идет о контуре квадрата. Так вот похоже что преведенная функция как раз и имеет промежутки постоянства для каждого своего значения. Тот единственный случай который я викинул из рассмотрения. Об этом я говорил.

Цитата:

И остается только один возможный вариант когда для каждого значения y есть промежуток постоянности.

[Someone]

Вы не поняли чего-то. В тех примерах, на которые я ссылался, кривая Пеано строится как предел последовательности кривых. Эти кривые действительно содержат прямолинейные отрезки, которые проектируются в одноточечные множества, но при переходе к следующим кривым эти отрезки становятся всё короче и в пределе исчезают, так что никаких промежутков постоянства не остаётся.
Кроме того, количество отрезков постоянства может быть не более чем счётным, так как на каждом таком отрезке имеется рациональное число, а количество значений функции - несчётное (континуум), поэтому вовсе не каждому значению может соответствовать отрезок постоянства.

Далее буквы $k,m,n$ будут обозначать целые числа, причём, $k\geqslant 1$.

Построим непрерывную функцию $f\colon[0,1]\xrightarrow{\text{на}}[0,1]$, которая каждое своё значение принимает на множестве мощности континуум. Сначала определим функцию

$$f_1(x)=\begin{cases}3x\text{ при }0\leqslant x<\frac 13\text{,}\\ 2-3x\text{ при }\frac 13\leqslant x\leqslant\frac 23\text{,}\\ 3x-2\text{ при }\frac 23<x\leqslant 1\text{.}\end{cases}$$

Заметим, что эта функция непрерывна, $f_1(0)=0$, $f_1(1)=1$, на каждом отрезке $\left[\frac m3,\frac{m+1}3\right]$, $0\leqslant m\leqslant 2$, её можно записать в виде $f_1(x)=f_1\left(\frac m3\right)+3\left(x-\frac m3\right)$ или $f_1(x)=f_1\left(\frac m3\right)+3\left(x-\frac m3\right)$, каждое своё значение на отрезке $[0,1]$ она принимает более одного раза, причём, на каждом отрезке $\left[\frac m3,\frac{m+1}3\right]$ - только один раз.
Далее предположим, что для некоторого натурального $k$ функция $f_k(x)$ на отрезке $[0,1]$ уже построена. Предполагаем, что эта функция удовлетворяет следующим условиям:
1) $f_k(x)$ непрерывна на $[0,1]$, $f_k(0)=0$ и $f_k(1)=1$, поэтому $f_k(x)$ отображает отрезок $[0,1]$ на весь отрезок $[0,1]$;
2) на каждом отрезке $\left[\frac m{3\cdot 6^{k-1}},\frac{m+1}{3\cdot 6^{k-1}}\right]$, $0\leqslant m\leqslant 3\cdot 6^{k-1}-1$, её можно записать в виде $f_k(x)=f_k\left(\frac m{3\cdot 6^{k-1}}\right)+3^k\left(x-\frac m{3\cdot 6^{k-1}}\right)$ или $f_k(x)=f_k\left(\frac m{3\cdot 6^{k-1}}\right)-3^k\left(x-\frac m{3\cdot 6^{k-1}}\right)$; в частности, на этом отрезке $f_k(x)$ принимает каждое своё значение только один раз;
3) каждое своё значение на отрезке $\left[\frac m{6^{k-1}},\frac{m+1}{6^{k-1}}\right]$, $0\leqslant m\leqslant 6^{k-1}-1$, функция $f_k(x)$ принимает более одного раза; если $k>1$, то множество значений функции $f_k(x)$ на этом отрезке совпадает с множеством значений функции $f_{k-1}(x)$;
4) если $k>1$, то $f_k\left(\frac m{6^{k-1}}\right)=f_{k-1}\left(\frac m{6^{k-1}}\right)$ при $0\leqslant m\leqslant 6^{k-1}$.
При $k=1$ годится $f_1(x)$.
Определим $f_{k+1}(x)$ на отрезке $\left[\frac m{6^k},\frac{m+1}{6^k}\right]$, $0\leqslant m\leqslant 6^k-1$, так:

$$f_{k+1}(x)=\begin{cases}f_k\left(\frac m{6^k}\right)+\frac 1{2^k}f_1\left(6^k\left(x-\frac m{6^k}\right)\right)\text{, если }f_k\left(\frac m{6^k}\right)<f_k\left(\frac{m+1}{6^k}\right)\text{,}\\ f_k\left(\frac m{6^k}\right)-\frac 1{2^k}f_1\left(6^k\left(x-\frac m{6^k}\right)\right)\text{, если }f_k\left(\frac m{6^k}\right)>f_k\left(\frac{m+1}{6^k}\right)\text{.}\end{cases}$$

Графики трёх первых функций показаны на рисунке ($y=f_1(x)$ - зелёный, $y=f_2(x)$ - красный, $y=f_3(x)$ - синий).

Заметим, что каждый отрезок $\left[\frac m{6^k},\frac{m+1}{6^k}\right]$, $0\leqslant m\leqslant 6^k-1$, содержится в том из отрезков $\left[\frac{m'}{3\cdot 6^{k-1}},\frac{m'+1}{3\cdot 6^{k-1}}\right]$, $0\leqslant m'\leqslant 3\cdot 6^{k-1}-1$, для которого $m=2m'$ или $m=2m'+1$, поэтому $f_{k+1}\left(\frac m{6^k}\right)=f_k\left(\frac m{6^k}\right)$ и $f_{k+1}\left(\frac{m+1}{6^k}\right)=f_k\left(\frac m{6^k}\right)\pm\frac 1{2^k}=f_k\left(\frac{m+1}{6^k}\right)$; из этих равенств и из непрерывности функции $f_1(x)$ следует непрерывность $f_{k+1}(x)$. Далее, $f_{k+1}(0)=f_k(0)=0$, $f_{k+1}(1)=f_k(1)=1$, поэтому $f_{k+1}(x)$ отображает отрезок $[0,1]$ на весь отрезок $[0,1]$. Таким образом, свойство 1) выполнено.
Свойства 2) и 4) выполняются по построению.
Свойство 3) следует из того, что $f_1(x)$ на отрезке $[0,1]$ каждое своё значение принимает более одного раза.
Таким образом, все требуемые свойства выполнены, и можно продолжать построение дальше. В итоге получается бесконечная последовательность непрерывных функций $f_k(x)$, $k\in\mathbb N$.

Пусть $k\geqslant 1$ и $x\in[0,1]$. Почти очевидно, что $|f_{k+1}(x)-f_k(x)|\leqslant\frac 1{2^k}$ (немного подумав, можно заметить, что $|f_{k+1}(x)-f_k(x)|\leqslant\frac 1{3\cdot 2^{k-1}}$). Поэтому при $n>k$ будет

$$|f_n(x)-f_k(x)|=\left|\sum_{m=k}^{n-1}(f_{m+1}(x)-f_m(x))\right|\leqslant\sum_{m=k}^{n-1}|f_{m+1}(x)-f_m(x)|\leqslant\sum_{m=k}^{n-1}\frac 1{2^k}<\sum_{m=k}^{\infty}\frac 1{2^k}=\frac 1{2^{k-1}}\text{.}$$

Отсюда по критерию Коши следует равномерная сходимость последовательности, и мы можем определить непрерывную функцию $f(x)=\lim\limits_{k\to\infty}f_k(x)$, $x\in[0,1]$. Очевидно, что $f(0)=0$ и $f(1)=1$, поэтому $f(x)$ отображает отрезок $[0,1]$ на весь отрезок $[0,1]$.

Пусть $y_0\in[0,1]$. Можно проверить, что множество $f^{-1}(y_0)=\{x\in[0,1]:f(x)=y_0\}\neq\varnothing$ не имеет изолированных точек, поэтому оно несчётно (имеет мощность континуума). Но мне уже не хочется это писать.