преобразование выражений

[BMW M3]

разложить на множители
$a(b-c)^3+b(c-a)^3+c(a-b)^3$
пожалуйста помогите!

[gris]

Заключите Ваше выражение в знаки $:

$a(b-c)^3+b(c-a)^3+c(a-b)^3$

Скобки побовали раскрывать?

[BMW M3]

Цитата:

Скобки побовали раскрывать?

там слишком много всего получаеться

[Виктор Викторов]

А где уравнение?

[RIP]

Да ничего раскрывать не надо. Задача вообще устная. Во-первых, очевидно, что выражение делится на $(a-b)(b-c)(c-a)$. Немного поразмыслив, можно понять, что частное имеет вид $\alpha(a+b+c)$, где $\alpha=\mathrm{const}$. Сравнив коэффициент при $a^3$, получаем $\alpha=1$. Таким образом, искомое выражение равно $(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$.

[Someone]

\begin{multline*}a(b-c)^3+b(c-a)^3+c(a-b)^3=\\ =(a(b-c)^3-b(b-c)^3)+(b(b-c)^3+b(c-a)^3)+c(a-b)^3=\\ =(a-b)(b-c)^3+b((b-c)^3+(c-a)^3)+c(a-b)^3\end{multline*}

P.S. Обратите внимание на надпись наверху страницы (про запись формул). Если будете продолжать нарушать правила, Ваши темы окажутся в Карантине.
Правила записи формул можно найти в темах http://dxdy.ru/topic8355.html и http://dxdy.ru/topic183.html

[ИС]

RIP

А откуда видно, что это выражение делиться на $(a-b)(b-c)(c-a)$
?

для меня это пока не очивидно

[ewert]

ИС в сообщении #250853 писал(а):

А откуда видно, что это выражение делиться на $(a-b)(b-c)(c-a)$
?

для меня это пока не очивидно

Замените временно $b$ на $x$. При подстановке $x=a$ сразу получается ноль; следовательно, выражение делится на $(x-a)$, т.е., собственно, на $(b-a)$. Ну и по симметрии.

В оставшемся множителе все слагаемые -- первой степени (т.к. исходное выражение однородно), и опять же по симметрии все слагаемые должны идти с одинаковыми коэффициентами.

[ИС]

ewert
А что значит "выражение однородно"?

[ewert]

Что все слагаемые -- одной степени.

Формально: что если каждую из переменных умножить на одно и то же число, то это должно привести к умножению всего выражение на некоторую степень этого числа.