частное решение дифференциального уравнения второго порядка

[MaJlbBuHa]

добрый день. помогите пожалуйста разобраться мне с заданием.
y''+6y'+9y=10e^(-3x) y(0)=3 y'(0)=1/27

r^2+6r+9=0
r1,2=-3
f(x)=e^(ax)(Pn(x)cosbx+Qm(x)sinbx)
a=-3
b=? я не знаю,сколько литературы по этой теме не прочитала, только это поняла. подскажите пожалуйста что дальше делать.заранее спасибо

[gris]

Во-первых, пишем так (окружая формулы знаками $)

$y''+6y'+9y=10e^{-3x} \quad y(0)=3 \quad y'(0)=1/27$

$r^2+6r+9=0$

$r_{1,2}=-3$

На этом месте вспоминаем, что синусы-косинусы появляются при комплексных корнях, а при кратных действительных- что?
Пишем общее решение однородного уравнения.
Смотрим в учебнике формулу частного решения для нашего частного случая, когда корень характеристического уравнения совпадает с показателем экспоненты.

[MaJlbBuHa]

y=(c1+c2x)exp(k1x) такая формула? подскажите пожалуйста формулу частного решения для нашего частного случая, когда корень характеристического уравнения совпадает с показателем экспоненты, или дайте ссылку на учебник, заранее спасибо

[gris]

Копипастить можете, а с формулами туговато пока. Есть знак доллара. Им и окружайте формулы.

$$y=(c_1+c_2 x )e^{rx}$$

$$y=(c_1+c_2 x )e^{rx}$$

Смотрите любой учебник по дифурам. Раздел линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Таблицу частных решений для правых частей определённого вида. А именно, вида $P_0 e^{rx}$, где$r$- корень характеристического уравнения кратности 2. Частное решение ищем в виде...

[ewert]

MaJlbBuHa в сообщении #247351 писал(а):

такая формула? подскажите пожалуйста формулу частного решения для нашего частного случая, когда корень характеристического уравнения совпадает с показателем экспоненты,

Общий принцип: частное решение ищется примерно в том же виде, что и правая часть, но: если есть "резонанс" (совпадение показателя с одним из корней) -- это выражение следует дополнительно домножить на икс в степени кратность того корня.

[MaJlbBuHa]

спасибо за советы, вроде разобралась, только не могу понять для чего в задании вот эти данные y(0)=3 y'(0)=1/27?

[gris]

Общее решение содержит параметры $c_1$ и $c_2$.
Их надо найти с помощью начальных условий. Получится система из двух простых уравнений. Найдём параметры и функция у нас будет определена однозначно.

[MaJlbBuHa]

проверьте правильно ли решено?
y''+6y'+9y=10e^(-3x) y(0)=3 y'(0)=1/27

r^2+6r+9=0
r1,2=-3

y=С1*e-3x+C2*х*e-3x решение общего однородного уравнения

y=(ax2+bx+c)e-3x *9
y'=(2ax+b-3ax2-3bx-3c)e-3x *6
y''=(2a-6ax-3b-6ax-3b+9ax2+9bx+9c)e-3x *1

9ax2+9bx+9c+12ax+6b-18ax2-18bx-18c+2a-6ax-3b-6ax-3b+9ax2+9bx+9c=10
9c+6b-18c+2a-6b+9c=10

а=5 b=c=0
y=5x2e-3x - у частное неоднородное

у[общее неоднородное]=y[общее однородное]+y[частное неоднородное]
y=С1*e-3x+C2*х*e-3x+5x2e-3x

[gris]

Зачем лишний труд по нахождению $b$ и $c$?
Частное решение неоднородного уравнения сразу ищем в виде $ax^2e^{-3x}$
Ответ правильный.
Теперь подставим 0 и приравняем к 3.
Потом посчитаем производную, подставим 0 и приравняем к 1/27.
Это не страшно. Там почти всё равно нулю. Ну и найдём коэффициенты.

[AKM]

MaJlbBuHa,
Пожалуйста, исправьте написание формул в соответствии с Правилами.
Используйте кнопку для редактирования своих сообщений.

[MaJlbBuHa]

gris спасибо огромное, все поняла.