2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Квадрат суммы чисел равен сумме кубов чисел
Сообщение04.09.2009, 15:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
2092
Минск, Беларусь
Есть ли у уравнений $$\left(\sum_{k=1}^{n}a_k\right)^2=\sum_{k=1}^{n}a_k^3$$ другие решения в целых положительных числах $a_k$, кроме $a_k=k$ и $a_k=n$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат суммы чисел равен сумме кубов чисел
Сообщение04.09.2009, 16:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
$(1+1+2+4+5+5)^2=324=1+1+8+64+125+125$

Или нужно, чтобы для любого $n$ выполнялось?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат суммы чисел равен сумме кубов чисел
Сообщение04.09.2009, 21:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
2092
Минск, Беларусь
Для любого $n$, очевидно, выполняться не будет. Но за пример спасибо. Я ищу такие $n$, при которых есть решения, отличные от тривиального.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат суммы чисел равен сумме кубов чисел
Сообщение04.09.2009, 21:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Есть ещё одно тривиальное решение для любого $n$:
$a_k=n$
Получается $n^4=n^4$

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат суммы чисел равен сумме кубов чисел
Сообщение04.09.2009, 22:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
2092
Минск, Беларусь
Действительно. Что-то я совсем туго соображать стал. Исправил первое сообщение темы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат суммы чисел равен сумме кубов чисел
Сообщение04.09.2009, 22:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Для небольших $n>3$ решения находятся достаточно легко:
1,2,2,4
1,2,2,3,5
1,1,3,4,4,5,7
1,1,1,1,4,5,6,6
1,1,1,1,1,2,4,4,7
....
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,3,9
28 раз по 1,2,12

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат суммы чисел равен сумме кубов чисел
Сообщение05.09.2009, 13:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
2092
Минск, Беларусь
Для $n=2$ уравнение принимает вид

$(a+b)^2 = a^3+b^3$

Исключив тривиальный случай $a=b=2$, примем $x=\frac{b}{a}<1$. Тогда имеем

$(1+x)^2 = a + bx^2$

$(b-1)x^2-2x+(a-1)=0$

При $b=1$ имеем другой тривиальный случай $a=2$; иначе же

$x=\frac{1-\sqrt{1-(b-1)(a-1)}}{b-1}$

Очевидно, выражение под корнем отрицательно при $b>1$, поэтому нетривиальных решений при $n=2$ нет.

P.S. Найденные перебором решения:
Код:
Trying n=1:
(1)
Trying n=2:
(12)(22)
Trying n=3:
(123)(333)
Trying n=4:
(1224)(1234)(2244)(4444)
Trying n=5:
(12235)(12345)(55555)(33336)(33346)
Trying n=6:
(111225)(111445)(112455)(114555)(222226)(122346)(122446)(123456)(224466)(144466)(333666)(244666)(666666)(333357)(244557)(345567)(355567)(455667)
Trying n=7:
(1122556)(1222366)(1224666)(1155666)(1236666)(1266666)(1223337)(1223457)(1134457)(2222557)(1145557)(1234567)(2333577)(1355577)(2335677)(1445677)(1556677)(2366677)(7777777)(2333448)(2244448)(3333468)(3333568)(3334668)(2446668)(2666668)(3555778)(4445559)(4555669)(6666669)
Trying n=8:
(11111155)(11111236)(11112256)(11122566)(11114566)(11125666)(11222247)(11125557)(11223567)(12233377)(12224577)(12225577)(22223677)(12334777)(12255777)(22236777)(22257777)(12577777)(22223338)(12224448)(11333458)(11244558)(11245558)(12234468)(12234568)(12244668)(13333578)(22235578)(11455578)(12345678)(13336678)(22344778)(12455778)(22346778)(12566778)(13467778)(22577778)(22677778)(22444488)(13444588)(13445688)(22446688)(13466688)(33335788)(22556788)(14557788)(23467788)(14567788)(15577788)(23677788)(16666888)(33577888)(27777888)(44448888)(26668888)(88888888)(22344459)(33333669)(22444669)(22446669)(33334579)(13555579)(33335679)(23355679)(14466679)(23455779)(33445689)(24466689)(24666789)(25567789)(34777789)(34566889)(36777889)(45558889)(66888889)(44455599)(44455699)(44555799)(35666799)(44667799)(46667899)(55777899)(66778899)(444444610)(255555610)(266666610)(444455710)(345556710)(345566710)(355567710)(366677710)(455667810)(555777810)(666666910)
Trying n=9:
(111112447)(111113557)(111123367)(112222477)(111155677)(111236677)(122223777)(222222228)(122222248)(111233358)(111224458)(222222268)(111256668)(122233378)(112234578)(112246678)(112266678)(122333778)(111666778)(222237778)(222333388)(113334588)(123334788)(122345788)(113356788)(112666788)(123377788)(123444888)(123355888)(223336888)(133347888)(133377888)(123777888)(124468888)(224488888)(228888888)(123333339)(222224449)(113333559)(122235559)(111455559)(123333369)(113334469)(222233569)(112345569)(122334669)(113335669)(222244479)(122344579)(112455579)(122345679)(222246679)(112556679)(122366679)(113456779)(122557779)(222367779)(122567779)(222444489)(133335589)(233333689)(122555689)(222356689)(233334789)(124444789)(114555789)(123456789)(114556789)(123466789)(115557789)(123567789)(116677789)(224444889)(133466889)(224447889)(133557889)(233367889)(124667889)(125777889)(134678889)(144788889)(136788889)(333336699)(124566699)(233445799)(125556799)(223566799)(144447799)(134577799)(333445899)(234457899)(225557899)(135677899)(244478899)(333778899)(333666999)(145666999)(244557999)(155577999)(235677999)(334668999)(245578999)(156678999)(247788999)(345579999)(356799999)(999999999)...

Интересно было бы найти нетривиальное решение, где все $a_k$ различны.

Кстати, в решениях, найденных перебором, просматривается ещё один общий случай, получаемый из тривиального $a_k=k$ заменой числа $n-1$ на число $2$. И, действительно,

$\left(\frac{n^2+n}2\right)^2-\left(\frac{n^2+n}2-(n-1)+2\right)^2 \equiv (n-1)^3-2^3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат суммы чисел равен сумме кубов чисел
Сообщение06.09.2009, 19:54 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
Droog_Andrey в сообщении #240506 писал(а):
$$\left(\sum_{k=1}^{n}a_k\right)^2=\sum_{k=1}^{n}a_k^3$$

Если выполняется это равенство, то неравенство о средних влечёт неравенство:
$$\sum_{k=1}^{n}a_k \leq n^2.$$
Таким образом, для каждого $n$ задача поиска $a_1, a_2, \dots, a_n$ сводится к конечному перебору.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат суммы чисел равен сумме кубов чисел
Сообщение09.09.2009, 22:14 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
См. также эту тему: topic13593.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат суммы чисел равен сумме кубов чисел
Сообщение10.09.2009, 00:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
2092
Минск, Беларусь
Спасибо за полезную информацию! 8-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат суммы чисел равен сумме кубов чисел
Сообщение18.08.2010, 18:47 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/08/09

235
Вот решения для n=6

1 1 1 2 2 5
1 1 1 4 4 5
1 1 2 4 5 5
1 1 4 5 5 5
1 2 2 3 4 6
1 2 2 4 4 6
1 2 3 4 5 6
1 4 4 4 6 6
2 2 2 2 2 6
2 2 4 4 6 6
2 4 4 5 5 7
2 4 4 6 6 6
3 3 3 3 5 7
3 3 3 6 6 6
3 4 5 5 6 7
3 5 5 5 6 7
4 5 5 6 6 7
6 6 6 6 6 6

То же для n=7
1 1 2 2 5 5 6
1 1 3 4 4 5 7
1 1 4 5 5 5 7
1 1 5 5 6 6 6
1 2 2 2 3 6 6
1 2 2 3 3 3 7
1 2 2 3 4 5 7
1 2 2 4 6 6 6
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 6 6 6 6
1 2 6 6 6 6 6
1 3 5 5 5 7 7
1 4 4 5 6 7 7
1 5 5 6 6 7 7
2 2 2 2 5 5 7
2 2 4 4 4 4 8
2 3 3 3 4 4 8
2 3 3 3 5 7 7
2 3 3 5 6 7 7
2 3 6 6 6 7 7
2 4 4 6 6 6 8
2 6 6 6 6 6 8
3 3 3 3 4 6 8
3 3 3 3 5 6 8
3 3 3 4 6 6 8
3 5 5 5 7 7 8
4 4 4 5 5 5 9
4 5 5 5 6 6 9
6 6 6 6 6 6 9
7 7 7 7 7 7 7

Текст проги для последнего случая:

open #1,"1","w"
n=25
for a1=1 to n
for a2=a1 to n+1
for a3=a2 to n+2
for a4=a3 to n+3
for a5=a4 to n+4
for a6=a5 to n+5
for a7=a6 to n+6
d2=(a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7)^2
d3=a1^3+a2^3+a3^3+a4^3+a5^3+a6^3+a7^3
if d2=d3 then
print a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7
print #1, a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7:fi
next a7
next a6
next a5
next a4
next a3
next a2
next a1

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат суммы чисел равен сумме кубов чисел
Сообщение18.08.2010, 19:14 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
Garik2 в сообщении #345228 писал(а):
Текст проги для последнего случая:

open #1,"1","w"
n=25

Эта граница выглядит взятой с потолка. Соответственно, где гарантия, что других решений нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат суммы чисел равен сумме кубов чисел
Сообщение18.08.2010, 19:28 
Заслуженный участник


04/05/09
4589
Я смог доказать границы:
$$\sum{a_k} \le n^2$$
$$a_k\le n(n-1)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат суммы чисел равен сумме кубов чисел
Сообщение18.08.2010, 20:19 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
venco в сообщении #345242 писал(а):
Я смог доказать границы:
$$\sum{a_k} \le n^2$$
$$a_k\le n(n-1)$$

Первое уже было: post241010.html#p241010
Из него следует также, что
$$a_k \leq n^{4/3},$$
что сильнее вашего второго неравенства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат суммы чисел равен сумме кубов чисел
Сообщение18.08.2010, 20:42 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/08/09

235
Меня вообще-то удивило, что есть граница. Взял n=25 действительно наугад.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 38 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group