Квадрат суммы чисел равен сумме кубов чисел

[ИСН]

Ой, смотрите: A158649

[maxal]

Надо бы эту последовательность удлиннить. Вот навскидку следующий элемент:
A158649(12) = 6546

[maxal]

A158649(13) = 20622

[Garik2]

Математика - вещь несправедливая. Есть много-много решений рассмотренной выше задачи и ни одного варианта для зависимости $x^3+y^3=z^3$. В целых числах, конечно. Ну разве такое дело годится?

Предупреждение за оффтопик и попытку захвата темы!

[Droog_Andrey]

Нашлось ли хотя бы одно нетривиальное решение, где все $a_k$ различны?

[maxal]

Droog_Andrey в сообщении #347246 писал(а):

Нашлось ли хотя бы одно нетривиальное решение, где все $a_k$ различны?

Для $n\leq 13$ таких нет.

[Droog_Andrey]

Становится всё интереснее...

Кстати, решений в положительных рациональных числах, судя по всему, бесконечно много для каждого $n$.

Рассмотрим подробнее случай $n=2$.

В этом случае знаменатели одинаковы, и для каждого значения знаменателя количество решений конечно. Скажем, для знаменателя $7$ мы имеем четыре решения (приведены числители):
$(2;10) (4;12) (10;15) (12;15)$

Вообще, для знаменателей, имеющих лишь один простой делитель, мне удалось найти только по четыре решения. Знаменатель $91$ дал восемь результатов:
$(6;102) (11;110) (72;171) (80;176) (102;187) (110;190) (171;190) (176;187)$

Следующий знаменатель с восемью результатами - $133$, затем идут $217$, $247$, $259$ и так далее. Более восьми решений (а именно шестнадцать) даёт знаменатель $1729$:
$(50;1825) (138;1978) (424;2385) (544;2528) (930;2914) (1073;3034) (1480;3320) (1633;3408)$
$(1825;3504) (1978;3569) (2385;3690) (2528;3713) (2914;3713) (3034;3690) (3320;3569) (3408;3504)$

Похоже, что решения есть для таких и только таких знаменателей, все делители которых имеют вид $6m+1$, причём количество решений равно $2^{r+1}$, где $r$ - количество простых делителей.

Доказательство этого предположения могло бы начаться с того факта, что решение $(a;b)$ существует тогда и только тогда, когда $a+b$ делит $3ab$ (при этом знаменатель равен $a+b-\frac{3ab}{a+b}$).

Вот список всех найденных мной решений со знаменателями, не превышающими $12000$:
http://www.primefan.ru/stuff/math/z.txt

Интересно было бы поискать похожие закономерности для случаев $n>2$. Вот список найденных мной решений для $n=3$ со знаменателями, не превышающими $50$:
http://www.primefan.ru/stuff/math/z3.txt

[Батороев]

Сумма двух рациональных чисел лежит в диапазоне от $1$ до $4$.

[Батороев]

$\left(\dfrac {a}{c}+\dfrac{b}{c}\right)^2=\left(\dfrac{a}{c}\right)^3+\left(\dfrac{b}{c}\right)^3$

$\dfrac{\left(a+b\right)^2}{c^2}=\dfrac{a^3+b^3}{c^3}=q^2$

$q^6=\dfrac{\left(a+b\right)^6}{c^6}$; $q^4=\dfrac{\left(a^3+b^3\right)^2}{c^6}$

$\dfrac{q^4}{q^6}=\dfrac{1}{q^2}=\dfrac{\left(a^3+b^3\right)^2}{\left(a+b\right)^6}$

$\dfrac{1}{q^2}=\dfrac{\left(a^2-ab+b^2\right)^2}{\left(a+b\right)^4}$

$\dfrac{1}{q}=\dfrac{\left(a^2-ab+b^2\right)}{\left(a+b\right)^2}=1-\dfrac{3ab}{\left(a+b\right)^2}$

$\dfrac{1}{q}=1-\dfrac{3}{\left(\dfrac{a+b}{\sqrt{ab}}\right)^2}$

$\dfrac{1}{q}=1-\dfrac{3}{\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}+\dfrac{\sqrt b}{\sqrt a}+2}$

С учетом того, что
$\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}+\dfrac{\sqrt b}{\sqrt a}\geq 2$,
а сверху это выражение ничем не ограничено, то

$ 1\leq \left(q=\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}\right) \leq 4$

[maxal]

Батороев в сообщении #347717 писал(а):

Сумма двух рациональных чисел лежит в диапазоне от $1$ до $4$.

Оценка $\sum_{i=1}^n a_k \leq n^2$ была получена без учета целочисленности $a_k$ и справедлива также для рациональных значений. В частности, для $n=2$ она дает верхнюю границу 4 для суммы.

[Батороев]

maxal
Извиняюсь!
Не посмотрел ранние посты в теме.

[VAL]

Droog_Andrey в сообщении #347246 писал(а):

Нашлось ли хотя бы одно нетривиальное решение, где все $a_k$ различны?

А разве не очевидно, что таковых нет?
Любое нетривиальное решение с попарно различными (натуральными) числами должно получаться из тривиального $(1+2+\cdots+n)^2=1^3+2^3+\cdots+n^3$ выбрасыванием нескольких слагаемых, но не последнего. Но при этом левая часть всегда будет меньше правой.

Или я чего-то не понял спросонок?

[maxal]

VAL в сообщении #348987 писал(а):

Любое нетривиальное решение с попарно различными (натуральными) числами должно получаться из тривиального $(1+2+\cdots+n)^2=1^3+2^3+\cdots+n^3$ выбрасыванием нескольких слагаемых, но не последнего. Но при этом левая часть всегда будет меньше правой.

Почему?

[VAL]

maxal в сообщении #348988 писал(а):

VAL в сообщении #348987 писал(а):

Любое нетривиальное решение с попарно различными (натуральными) числами должно получаться из тривиального $(1+2+\cdots+n)^2=1^3+2^3+\cdots+n^3$ выбрасыванием нескольких слагаемых, но не последнего. Но при этом левая часть всегда будет меньше правой.

Почему?

Потому что куб растет быстрее квадрата.
Это общее соображение. Аккуратнее пока не доказывал. А если мне приведут пример, в котором после удаления нескольких слагаемых левая часть станет больше правой, то и не буду :)

[maxal]

VAL в сообщении #348990 писал(а):

Это общее соображение. Аккуратнее пока не доказывал.

С удовольствием посмотрю на доказательство. (что-то мне подсказывает, что тут отнюдь не всё так просто)