Вложенные шары ("задача Швейка")

[Бабай]

Источник: Колмогоров, Фомин "Элементы теории функций и функционального анализа"

На странице 63 (7е издание) есть упражнение:

Привести пример метрического пространства и таких двух шаров $B(x,\rho_1),B(y,\rho_2)$ в нём, что $\rho_1>\rho_2$, и тем не менее $B(x,\rho_1)\subset{}B(y,\rho_2)$

Вопрос: Здесь предполагается, что в общем случае центры шаров могут и не совпадать? Я ожидал, что один шар будет вложен в другой, только может оказаться, что шар с большим радиусом будет лежать внутри шара с меньшим радиусом. А так как там написано, то можно же радиусы выбрать и так, что они вообще не будут пересекаться, не так ли, и что тогда?

[ewert]

Бабай в сообщении #227109 писал(а):

Привести пример метрического пространства и таких двух шаров $B(x,\rho_1),B(y,\rho_2)$ в нём, что $\rho_1>\rho_2$, и тем не менее $B(x,\rho_1)\subset{}B(y,\rho_2)$

Это -- известная "задача Швейка": внутри земного шара имеется другой шар, размером гораздо больше внешнего; привести пример.

Бабай в сообщении #227109 писал(а):

Вопрос: Здесь предполагается, что в общем случае центры шаров могут и не совпадать?

Они обязаны не совпадать.

--------------------------------------
P.S. В качестве метрического пространства достаточно взять полуось с естественной метрикой.

[Gortaur]

Возьмите на плоскости 3 точки, и принудительно введите метрику на этом пространстве из 3-х точек. Какую - думаю, надо Вам самому находить.

[TOTAL]

Бабай в сообщении #227109 писал(а):

$B(x,\rho_1)\subset{}B(y,\rho_2)$

Что это означает?

[ewert]

TOTAL в сообщении #227118 писал(а):

Что это означает?

Это означает, что первый шар вложен во второй.

(я к тому, что вряд ли этот вопрос чем-то поможет)

[TOTAL]

ewert в сообщении #227119 писал(а):

Это означает, что первый шар вложен во второй.

Шар вложен или содержимое большего шара является подмножеством содержимого меьшего шара? Если так, то и придумывать никаких хитрых метрик не надо. Множество людей, находящихся в шаре радиуса 10^10км с центром в Москве, принадлежит множеству людей, находящихся в центре шара радиуса 10^9км с центром во Владивостоке.

[ewert]

TOTAL в сообщении #227121 писал(а):

Если так, то и придумывать никаких хитрых метрик не надо. Множество людей, находящихся в шаре радиуса 10^10км с центром в Москве, принадлежит множеству людей, находящихся в центре шара радиуса 10^9км с центром во Владивостоке.

Ну и так тоже можно, но как-то неэстетично (размерность избыточна, да ещё и какая-то кривая).

TOTAL в сообщении #227121 писал(а):

Шар вложен или содержимое большего шара является подмножеством содержимого меьшего шара?

Да, а это, кстати, -- одно и то же.

[epros]

TOTAL в сообщении #227121 писал(а):

ewert в сообщении #227119 писал(а):

Это означает, что первый шар вложен во второй.

Шар вложен или содержимое большего шара является подмножеством содержимого меьшего шара? Если так, то и придумывать никаких хитрых метрик не надо. Множество людей, находящихся в шаре радиуса 10^10км с центром в Москве, принадлежит множеству людей, находящихся в центре шара радиуса 10^9км с центром во Владивостоке.

Насколько я понимаю символ $\subset$, должен быть хотя бы один элемент второго множества, не принадлежащий первому.

[мат-ламер]

Gortaur в сообщении #227116 писал(а):

Возьмите на плоскости 3 точки, и принудительно введите метрику на этом пространстве из 3-х точек. Какую - думаю, надо Вам самому находить.

Метрику можно оставить (т.е. ввести индуцированую). Три точки можно взять и на прямой. Если хочется, можно взять не три точки, а, например, отрезок прямой.

[ewert]

epros в сообщении #227150 писал(а):

Насколько я понимаю символ $\subset$, должен быть хотя бы один элемент второго множества, не принадлежащий первому.

Не имеет значения, утверждение справедливо по одним и тем же причинам как для строгого, так и нестрогого вложения.

[epros]

ewert в сообщении #227152 писал(а):

epros в сообщении #227150 писал(а):

Насколько я понимаю символ $\subset$, должен быть хотя бы один элемент второго множества, не принадлежащий первому.

Не имеет значения, утверждение справедливо по одним и тем же причинам как для строгого, так и нестрогого вложения.

Интересно было бы увидеть пример для строгого вложения и для метрики, удовлетворяющей правилу треугольника.

[Бабай]

Так как говорили много, а примера шаров ещё не было, то для законченности темы я предъявляю два таких шара: Для интервала $(0,1)\subset\mathbb{R}$ с индуцированной метрикой $\rho(x,y)=\textbar{}x-y\textbar$ имеем $B(4/5,3/5)\subset{}B(1/2,1/2)$, то есть чем ближе центр шара к предельной точке, тем больше шар теряет свою "шарообразность" в привычном смысле, но всё-таки остаётся шаром.

[TOTAL]

Бабай в сообщении #227333 писал(а):

Так как говорили много, а примера шаров ещё не было

Неправда, были примеры. $B(1/2, 10^{10})\subset{}B(2/3, 10^9})$

[ewert]

Если отвлечься от технических нюансов. В пространстве $M=[0;+\infty)$ шар $B(0;2)=\{|x-0|\leqslant2\}$ радиуса $2$ содержится в шаре $B(1;1)=\{|x-1|\leqslant1\}$ радиуса $1$ (собственно, совпадает с ним). Поскольку первый радиус больше второго с запасом, небольшим шевелением можно добиться чего угодно: и строгой вложенности, и открытости этих шаров, и открытости самого $M$, если вдруг захочется.

[Бабай]

TOTAL в сообщении #227335 писал(а):

Бабай в сообщении #227333 писал(а):

Так как говорили много, а примера шаров ещё не было

Неправда, были примеры. $B(1/2, 10^{10})\subset{}B(2/3, 10^9})$

Я не заметил вверху это сообщение. Но мне пока не верится, что дополнение второго шара в числовой прямой является подмножеством дополнения первого шара там же. Хотя интуитивно чувствуется, что каритна должна круто меняться.

ewert в сообщении #227340 писал(а):

Если отвлечься от технических нюансов. В пространстве $M=[0;+\infty)$ шар $B(0;2)=\{|x-0|\leqslant2\}$ радиуса $2$ содержится в шаре $B(1;1)=\{|x-1|\leqslant1\}$ радиуса $1$ (собственно, совпадает с ним). Поскольку первый радиус больше второго с запасом, небольшим шевелением можно добиться чего угодно: и строгой вложенности, и открытости этих шаров, и открытости самого $M$, если вдруг захочется.

Это значит, что когда начинаешь "шевелить" до открытых множеств, то, так как мы измеряем замкнутыми множествами, уже нельзя мерить то, что "шевелится", так что ли?