2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Вложенные шары ("задача Швейка")
Сообщение07.07.2009, 13:17 
Аватара пользователя


29/12/05
228
Источник: Колмогоров, Фомин "Элементы теории функций и функционального анализа"

На странице 63 (7е издание) есть упражнение:

Привести пример метрического пространства и таких двух шаров $B(x,\rho_1),B(y,\rho_2)$ в нём, что $\rho_1>\rho_2$, и тем не менее $B(x,\rho_1)\subset{}B(y,\rho_2)$

Вопрос: Здесь предполагается, что в общем случае центры шаров могут и не совпадать? Я ожидал, что один шар будет вложен в другой, только может оказаться, что шар с большим радиусом будет лежать внутри шара с меньшим радиусом. А так как там написано, то можно же радиусы выбрать и так, что они вообще не будут пересекаться, не так ли, и что тогда?

 Профиль  
                  
 
 Re: Шары
Сообщение07.07.2009, 13:29 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Бабай в сообщении #227109 писал(а):
Привести пример метрического пространства и таких двух шаров $B(x,\rho_1),B(y,\rho_2)$ в нём, что $\rho_1>\rho_2$, и тем не менее $B(x,\rho_1)\subset{}B(y,\rho_2)$

Это -- известная "задача Швейка": внутри земного шара имеется другой шар, размером гораздо больше внешнего; привести пример.

Бабай в сообщении #227109 писал(а):
Вопрос: Здесь предполагается, что в общем случае центры шаров могут и не совпадать?

Они обязаны не совпадать.

--------------------------------------
P.S. В качестве метрического пространства достаточно взять полуось с естественной метрикой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Шары
Сообщение07.07.2009, 13:37 


26/12/08
1813
Лейден
Возьмите на плоскости 3 точки, и принудительно введите метрику на этом пространстве из 3-х точек. Какую - думаю, надо Вам самому находить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Шары
Сообщение07.07.2009, 13:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5411
Нов-ск
Бабай в сообщении #227109 писал(а):
$B(x,\rho_1)\subset{}B(y,\rho_2)$
Что это означает?

 Профиль  
                  
 
 Re: Шары
Сообщение07.07.2009, 13:45 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
TOTAL в сообщении #227118 писал(а):
Что это означает?

Это означает, что первый шар вложен во второй.

(я к тому, что вряд ли этот вопрос чем-то поможет)

 Профиль  
                  
 
 Re: Шары
Сообщение07.07.2009, 13:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5411
Нов-ск
ewert в сообщении #227119 писал(а):
Это означает, что первый шар вложен во второй.
Шар вложен или содержимое большего шара является подмножеством содержимого меьшего шара? Если так, то и придумывать никаких хитрых метрик не надо. Множество людей, находящихся в шаре радиуса 10^10км с центром в Москве, принадлежит множеству людей, находящихся в центре шара радиуса 10^9км с центром во Владивостоке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Шары
Сообщение07.07.2009, 15:24 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
TOTAL в сообщении #227121 писал(а):
Если так, то и придумывать никаких хитрых метрик не надо. Множество людей, находящихся в шаре радиуса 10^10км с центром в Москве, принадлежит множеству людей, находящихся в центре шара радиуса 10^9км с центром во Владивостоке.

Ну и так тоже можно, но как-то неэстетично (размерность избыточна, да ещё и какая-то кривая).

TOTAL в сообщении #227121 писал(а):
Шар вложен или содержимое большего шара является подмножеством содержимого меьшего шара?

Да, а это, кстати, -- одно и то же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Шары
Сообщение07.07.2009, 15:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10300
TOTAL в сообщении #227121 писал(а):
ewert в сообщении #227119 писал(а):
Это означает, что первый шар вложен во второй.
Шар вложен или содержимое большего шара является подмножеством содержимого меьшего шара? Если так, то и придумывать никаких хитрых метрик не надо. Множество людей, находящихся в шаре радиуса 10^10км с центром в Москве, принадлежит множеству людей, находящихся в центре шара радиуса 10^9км с центром во Владивостоке.

Насколько я понимаю символ $\subset$, должен быть хотя бы один элемент второго множества, не принадлежащий первому.

 Профиль  
                  
 
 Re: Шары
Сообщение07.07.2009, 15:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6549
Gortaur в сообщении #227116 писал(а):
Возьмите на плоскости 3 точки, и принудительно введите метрику на этом пространстве из 3-х точек. Какую - думаю, надо Вам самому находить.
Метрику можно оставить (т.е. ввести индуцированую). Три точки можно взять и на прямой. Если хочется, можно взять не три точки, а, например, отрезок прямой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Шары
Сообщение07.07.2009, 16:01 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
epros в сообщении #227150 писал(а):
Насколько я понимаю символ $\subset$, должен быть хотя бы один элемент второго множества, не принадлежащий первому.

Не имеет значения, утверждение справедливо по одним и тем же причинам как для строгого, так и нестрогого вложения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Шары
Сообщение08.07.2009, 09:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10300
ewert в сообщении #227152 писал(а):
epros в сообщении #227150 писал(а):
Насколько я понимаю символ $\subset$, должен быть хотя бы один элемент второго множества, не принадлежащий первому.

Не имеет значения, утверждение справедливо по одним и тем же причинам как для строгого, так и нестрогого вложения.

Интересно было бы увидеть пример для строгого вложения и для метрики, удовлетворяющей правилу треугольника.

 Профиль  
                  
 
 Re: Шары
Сообщение08.07.2009, 09:49 
Аватара пользователя


29/12/05
228
Так как говорили много, а примера шаров ещё не было, то для законченности темы я предъявляю два таких шара: Для интервала $(0,1)\subset\mathbb{R}$ с индуцированной метрикой $\rho(x,y)=\textbar{}x-y\textbar$ имеем $B(4/5,3/5)\subset{}B(1/2,1/2)$, то есть чем ближе центр шара к предельной точке, тем больше шар теряет свою "шарообразность" в привычном смысле, но всё-таки остаётся шаром.

 Профиль  
                  
 
 Re: Шары
Сообщение08.07.2009, 10:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5411
Нов-ск
Бабай в сообщении #227333 писал(а):
Так как говорили много, а примера шаров ещё не было

Неправда, были примеры. $B(1/2, 10^{10})\subset{}B(2/3, 10^9})$

 Профиль  
                  
 
 Re: Шары
Сообщение08.07.2009, 10:19 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Если отвлечься от технических нюансов. В пространстве $M=[0;+\infty)$ шар $B(0;2)=\{|x-0|\leqslant2\}$ радиуса $2$ содержится в шаре $B(1;1)=\{|x-1|\leqslant1\}$ радиуса $1$ (собственно, совпадает с ним). Поскольку первый радиус больше второго с запасом, небольшим шевелением можно добиться чего угодно: и строгой вложенности, и открытости этих шаров, и открытости самого $M$, если вдруг захочется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Шары
Сообщение08.07.2009, 11:19 
Аватара пользователя


29/12/05
228
TOTAL в сообщении #227335 писал(а):
Бабай в сообщении #227333 писал(а):
Так как говорили много, а примера шаров ещё не было

Неправда, были примеры. $B(1/2, 10^{10})\subset{}B(2/3, 10^9})$


Я не заметил вверху это сообщение. Но мне пока не верится, что дополнение второго шара в числовой прямой является подмножеством дополнения первого шара там же. Хотя интуитивно чувствуется, что каритна должна круто меняться.

ewert в сообщении #227340 писал(а):
Если отвлечься от технических нюансов. В пространстве $M=[0;+\infty)$ шар $B(0;2)=\{|x-0|\leqslant2\}$ радиуса $2$ содержится в шаре $B(1;1)=\{|x-1|\leqslant1\}$ радиуса $1$ (собственно, совпадает с ним). Поскольку первый радиус больше второго с запасом, небольшим шевелением можно добиться чего угодно: и строгой вложенности, и открытости этих шаров, и открытости самого $M$, если вдруг захочется.


Это значит, что когда начинаешь "шевелить" до открытых множеств, то, так как мы измеряем замкнутыми множествами, уже нельзя мерить то, что "шевелится", так что ли?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group