2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Вложенные шары ("задача Швейка")
Сообщение07.07.2009, 13:17 
Аватара пользователя
Источник: Колмогоров, Фомин "Элементы теории функций и функционального анализа"

На странице 63 (7е издание) есть упражнение:

Привести пример метрического пространства и таких двух шаров $B(x,\rho_1),B(y,\rho_2)$ в нём, что $\rho_1>\rho_2$, и тем не менее $B(x,\rho_1)\subset{}B(y,\rho_2)$

Вопрос: Здесь предполагается, что в общем случае центры шаров могут и не совпадать? Я ожидал, что один шар будет вложен в другой, только может оказаться, что шар с большим радиусом будет лежать внутри шара с меньшим радиусом. А так как там написано, то можно же радиусы выбрать и так, что они вообще не будут пересекаться, не так ли, и что тогда?

 
 
 
 Re: Шары
Сообщение07.07.2009, 13:29 
Бабай в сообщении #227109 писал(а):
Привести пример метрического пространства и таких двух шаров $B(x,\rho_1),B(y,\rho_2)$ в нём, что $\rho_1>\rho_2$, и тем не менее $B(x,\rho_1)\subset{}B(y,\rho_2)$

Это -- известная "задача Швейка": внутри земного шара имеется другой шар, размером гораздо больше внешнего; привести пример.

Бабай в сообщении #227109 писал(а):
Вопрос: Здесь предполагается, что в общем случае центры шаров могут и не совпадать?

Они обязаны не совпадать.

--------------------------------------
P.S. В качестве метрического пространства достаточно взять полуось с естественной метрикой.

 
 
 
 Re: Шары
Сообщение07.07.2009, 13:37 
Возьмите на плоскости 3 точки, и принудительно введите метрику на этом пространстве из 3-х точек. Какую - думаю, надо Вам самому находить.

 
 
 
 Re: Шары
Сообщение07.07.2009, 13:42 
Аватара пользователя
Бабай в сообщении #227109 писал(а):
$B(x,\rho_1)\subset{}B(y,\rho_2)$
Что это означает?

 
 
 
 Re: Шары
Сообщение07.07.2009, 13:45 
TOTAL в сообщении #227118 писал(а):
Что это означает?

Это означает, что первый шар вложен во второй.

(я к тому, что вряд ли этот вопрос чем-то поможет)

 
 
 
 Re: Шары
Сообщение07.07.2009, 13:53 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #227119 писал(а):
Это означает, что первый шар вложен во второй.
Шар вложен или содержимое большего шара является подмножеством содержимого меьшего шара? Если так, то и придумывать никаких хитрых метрик не надо. Множество людей, находящихся в шаре радиуса 10^10км с центром в Москве, принадлежит множеству людей, находящихся в центре шара радиуса 10^9км с центром во Владивостоке.

 
 
 
 Re: Шары
Сообщение07.07.2009, 15:24 
TOTAL в сообщении #227121 писал(а):
Если так, то и придумывать никаких хитрых метрик не надо. Множество людей, находящихся в шаре радиуса 10^10км с центром в Москве, принадлежит множеству людей, находящихся в центре шара радиуса 10^9км с центром во Владивостоке.

Ну и так тоже можно, но как-то неэстетично (размерность избыточна, да ещё и какая-то кривая).

TOTAL в сообщении #227121 писал(а):
Шар вложен или содержимое большего шара является подмножеством содержимого меьшего шара?

Да, а это, кстати, -- одно и то же.

 
 
 
 Re: Шары
Сообщение07.07.2009, 15:58 
Аватара пользователя
TOTAL в сообщении #227121 писал(а):
ewert в сообщении #227119 писал(а):
Это означает, что первый шар вложен во второй.
Шар вложен или содержимое большего шара является подмножеством содержимого меьшего шара? Если так, то и придумывать никаких хитрых метрик не надо. Множество людей, находящихся в шаре радиуса 10^10км с центром в Москве, принадлежит множеству людей, находящихся в центре шара радиуса 10^9км с центром во Владивостоке.

Насколько я понимаю символ $\subset$, должен быть хотя бы один элемент второго множества, не принадлежащий первому.

 
 
 
 Re: Шары
Сообщение07.07.2009, 15:59 
Аватара пользователя
Gortaur в сообщении #227116 писал(а):
Возьмите на плоскости 3 точки, и принудительно введите метрику на этом пространстве из 3-х точек. Какую - думаю, надо Вам самому находить.
Метрику можно оставить (т.е. ввести индуцированую). Три точки можно взять и на прямой. Если хочется, можно взять не три точки, а, например, отрезок прямой.

 
 
 
 Re: Шары
Сообщение07.07.2009, 16:01 
epros в сообщении #227150 писал(а):
Насколько я понимаю символ $\subset$, должен быть хотя бы один элемент второго множества, не принадлежащий первому.

Не имеет значения, утверждение справедливо по одним и тем же причинам как для строгого, так и нестрогого вложения.

 
 
 
 Re: Шары
Сообщение08.07.2009, 09:48 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #227152 писал(а):
epros в сообщении #227150 писал(а):
Насколько я понимаю символ $\subset$, должен быть хотя бы один элемент второго множества, не принадлежащий первому.

Не имеет значения, утверждение справедливо по одним и тем же причинам как для строгого, так и нестрогого вложения.

Интересно было бы увидеть пример для строгого вложения и для метрики, удовлетворяющей правилу треугольника.

 
 
 
 Re: Шары
Сообщение08.07.2009, 09:49 
Аватара пользователя
Так как говорили много, а примера шаров ещё не было, то для законченности темы я предъявляю два таких шара: Для интервала $(0,1)\subset\mathbb{R}$ с индуцированной метрикой $\rho(x,y)=\textbar{}x-y\textbar$ имеем $B(4/5,3/5)\subset{}B(1/2,1/2)$, то есть чем ближе центр шара к предельной точке, тем больше шар теряет свою "шарообразность" в привычном смысле, но всё-таки остаётся шаром.

 
 
 
 Re: Шары
Сообщение08.07.2009, 10:01 
Аватара пользователя
Бабай в сообщении #227333 писал(а):
Так как говорили много, а примера шаров ещё не было

Неправда, были примеры. $B(1/2, 10^{10})\subset{}B(2/3, 10^9})$

 
 
 
 Re: Шары
Сообщение08.07.2009, 10:19 
Если отвлечься от технических нюансов. В пространстве $M=[0;+\infty)$ шар $B(0;2)=\{|x-0|\leqslant2\}$ радиуса $2$ содержится в шаре $B(1;1)=\{|x-1|\leqslant1\}$ радиуса $1$ (собственно, совпадает с ним). Поскольку первый радиус больше второго с запасом, небольшим шевелением можно добиться чего угодно: и строгой вложенности, и открытости этих шаров, и открытости самого $M$, если вдруг захочется.

 
 
 
 Re: Шары
Сообщение08.07.2009, 11:19 
Аватара пользователя
TOTAL в сообщении #227335 писал(а):
Бабай в сообщении #227333 писал(а):
Так как говорили много, а примера шаров ещё не было

Неправда, были примеры. $B(1/2, 10^{10})\subset{}B(2/3, 10^9})$


Я не заметил вверху это сообщение. Но мне пока не верится, что дополнение второго шара в числовой прямой является подмножеством дополнения первого шара там же. Хотя интуитивно чувствуется, что каритна должна круто меняться.

ewert в сообщении #227340 писал(а):
Если отвлечься от технических нюансов. В пространстве $M=[0;+\infty)$ шар $B(0;2)=\{|x-0|\leqslant2\}$ радиуса $2$ содержится в шаре $B(1;1)=\{|x-1|\leqslant1\}$ радиуса $1$ (собственно, совпадает с ним). Поскольку первый радиус больше второго с запасом, небольшим шевелением можно добиться чего угодно: и строгой вложенности, и открытости этих шаров, и открытости самого $M$, если вдруг захочется.


Это значит, что когда начинаешь "шевелить" до открытых множеств, то, так как мы измеряем замкнутыми множествами, уже нельзя мерить то, что "шевелится", так что ли?

 
 
 [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group