мощность множества (количество множеств заданной мощности)

[AGu]

vvvv в сообщении #226859 писал(а):

Увлекающимся теорией множеств, хочу напомнить - Георг Кантор скончался в психиатрической клинике.

Увлекающимся логикой хочу напомнить, что, вообще говоря, $(\exists\,x)[\varphi(x)\,\&\,\psi(x)]\nRightarrow(\forall\,x)[\varphi(x)\Rightarrow\psi(x)]$.

[ИСН]

Вот-вот, он тоже сначала всё такие крючочки рисовал

[malin]

Цитата:

Если хочется, чтобы мощность множества была множеством, и не хочется выходить за формальные рамки ZF(C), определение придется изменить. Классическим решением является рассмотрение кардиналов (как неких канонических представителей рассматриваемых классов эквивалентности).

Да, я, кажется, понял, что надо рассматривать кардиналы, однако скажите, разве теория трансфинитных кардиналов не строится на предположении, что верна обобщённая гипотеза континуума? тогда получается, что определение мощность можно дать, если верна гипотеза континуума... Или я не прав?

[Профессор Снэйп]

malin в сообщении #231320 писал(а):

разве теория трансфинитных кардиналов не строится на предположении, что верна обобщённая гипотеза континуума?

Нет, она строится независимо от ОКГ.

[malin]

Мощность множества всех натуральных чисел - алеф нуль; мощность множества всех подмножеств множества натуральных чисел P(N) континуальна - алеф первый. Между ними ничего нет - это гипотеза континуума.
Теперь мощность множества P(P(N)) = P(R) - алеф второй. Между ними ничего нет - это обобщённая гипотеза континуума
ну и так далее...

[Профессор Снэйп]

malin в сообщении #231327 писал(а):

мощность множества всех подмножеств множества натуральных чисел P(N) континуальна - алеф первый.

Только в том случае, если верна континуум-гипотеза.

[malin]

ну вот я и говорю, что теория кардинальных чисел основывается на ОКГ. И, кстати, доказательство того, что множество P(N) континуально, можно провести, не опираясь на гипотезу континуума. но это не важно!! Здесь важно не то , что не существует такого множества А, что |N| < |A| < |R|, а важно то, что не существует такого множества А, что |N| < |A| < |P(N)|.
Хотя, как я уже сказал, можно показать, что это то же самое без использования гипотезы континуума

[Профессор Снэйп]

malin в сообщении #231331 писал(а):

ну вот я и говорю, что теория кардинальных чисел основывается на ОКГ

С тем, что Вы постоянно говорите какие-то глупости, я не спорю... В отличие от теории кардинальных чисел. Эта теория прекрасно обходится без равенства $\aleph_1 = 2^{\aleph_0}$.

[мат-ламер]

malin. Не понятна связь континуум-гипотезы и теорией кардинальных чисел. Можно построить модель в которой верны все аксимы ZFC и континуум-гипотеза. Можно построить модель в котрой верны все аксиомы ZFC и отрицание континуум-гипотезы. В обоих моделях существует своя теория кардинальных чисел, в основном совпадающая. Но если углубляться в эти дебри, то существует опасность, высказанная ранее.

[Профессор Снэйп]

мат-ламер в сообщении #231363 писал(а):

Но если углубляться в эти дебри, то существует опасность, высказанная ранее.

Что за опасность такая?

[мат-ламер]

Тут вспоминали про Кантора. Хотя можно вспомнить ещё про Гёделя. Интересно, у Лузина всё в порядке с этим делом было?

[Профессор Снэйп]

Вспоминать можно много про кого. В чём опасность-то?

[мат-ламер]

Читайте сообщение vvvv (последнее на первой странице). Там же резолюция модератора.

[Профессор Снэйп]

А... То есть опасность --- это опасность сойти с ума. Это не страшно, математики все по определению самасшедшие.

Философия и математика --- профессиональное заболевание шизофреников

[malin]

Цитата:

Не понятна связь континуум-гипотезы и теорией кардинальных чисел.

Связь: возьмём любое бесконечное множество M. пусть его мощность равна Ni (прошу прощенья, не умею писать красивые буковки)
Рассмотрим множество всех его подмножеств P(M). |M| < |P(M)|, а согласно обобщённой гипотезе континуума между этими множествами нет никакого множества А: |M| < |A| < |P(M)|. Поэтому |P(M)| = Ni+1.
Другое дело, что

Цитата:

Эта теория прекрасно обходится без равенства $\aleph_1 = 2^{\aleph_0}$.

, что мне совершенно непонятно. если кто знает и может как-нибудь простенько объяснить, буду весьма признателен.
P.S. И это... не ругайтесь сильно на меня, я всего лишь на втором курсе)))