2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 мощность множества (количество множеств заданной мощности)
Сообщение05.07.2009, 18:14 


10/06/09
111
Согласно определению из Википедии (Мощность множества), два множества называются равномощными, если между ними существует биекция. Существование биекции между множествами есть отношение эквивалентности, а мощность множества — это соответствующий ему класс эквивалентности. А вот чему равна мощность этого класса эквивалентности? А мощность множества всех подмножеств этого класса?
И может ли получиться так, что два неравномощных множества имеют равномощные классы?

 Профиль  
                  
 
 Re: мощность множества
Сообщение05.07.2009, 19:33 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
malin в сообщении #226677 писал(а):
А вот чему равна мощность этого класса эквивалентности?

Ничему конкретному: для ответа на этот вопрос необходимо точно задать, подмножествами какого конкретно множества они являются.

 Профиль  
                  
 
 Re: мощность множества
Сообщение05.07.2009, 20:38 


10/06/09
111
Я хочу сказать, что при таком определении мощности может возникнуть понятие "мощность мощности".
Ведь класс эквивалентности - это тоже множество, поэтому можно найти его мощность. Возьмём, например, множество действительных чисел. Его мощность равна классу эквивалентности (R). теперь посчитаем мощность этого класса эвивалентности. Его мощность равна классу ((R)).
Теперь вопрос: что больше (R) или ((R))? (то есть что больше, мощность множества дейсвительных чисел, или, простите за каламбур, мощность мощности множества действительных чисел?)

 Профиль  
                  
 
 Re: мощность множества
Сообщение05.07.2009, 21:06 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
malin в сообщении #226700 писал(а):
Его мощность равна классу эквивалентности (R). теперь посчитаем мощность этого класса эвивалентности.

Не посчитаем. Сперва надобно перечислить все множества, которые мы позволяем себе рассматривать как эквивалентные к $\mathbb R$.

 Профиль  
                  
 
 Re: мощность множества
Сообщение05.07.2009, 22:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351
Вам надо почитать кое-какие книжки. Например: Верещагин и Шень «Начала теории множеств».

 Профиль  
                  
 
 Re: мощность множества
Сообщение05.07.2009, 22:36 


10/06/09
111
Цитата:
Не посчитаем. Сперва надобно перечислить все множества, которые мы позволяем себе рассматривать как эквивалентные к .

А вы часом не конструктивист? Вам обязательно надо изложить алгоритм построения множества? Обязательно перечислять все его элементы?

Конструктивно могу перечислить следующие множества: берём множество всех вещественных чисел, и над каждым его элементом x пишем штрих. таким образом x отображается в х' - биекция. Теперь над каждым элементом x пишем два штриха. таким образом x отображается в х'' - тоже биекция.

Таким образом, мы пришли к выводу, что (R) не менее чем счётно.

 Профиль  
                  
 
 Re: мощность множества
Сообщение05.07.2009, 22:44 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
malin в сообщении #226715 писал(а):
А вы часом не конструктивист?

Нет, ни секундой. Слово "перечислить" я употребил исключительно для обострения ситуации.

Видите ли, прежде чем говорить о мощности чего бы то ни было -- Вы обязаны хоть как-то это нечто определить. В частности, понятие "класс эквивалентности" осмысленно только после того, как задано некое конкретное множество, которое разбивается на те самые классы. Хоть как-то, но -- задано.

У Вас ничего подобного не наблюдается.

 Профиль  
                  
 
 Re: мощность множества
Сообщение05.07.2009, 22:53 


10/06/09
111
Вот здесь вы правы. Отношение эквивалентности необходимо задать на некотором множестве. Но ведь понятие мощности определено для любого множества, поэтому это отношение, по-видимому, следует задать на множестве всех множеств, которого не существует. Помогите, пожалуйста, разобраться в этом

 Профиль  
                  
 
 Re: мощность множества
Сообщение05.07.2009, 23:00 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
malin в сообщении #226719 писал(а):
поэтому это отношение, по-видимому, следует задать на множестве всех множеств, которого не существует. Помогите, пожалуйста, разобраться в этом

Помогаю. Если следует сделать что-то, заведомо не имеющее смысла -- то этого не следует делать.

 Профиль  
                  
 
 Re: мощность множества
Сообщение05.07.2009, 23:02 


10/06/09
111
То есть вы хотите сказать, что определять мощность, как класс эквивалентности, некорректно?

 Профиль  
                  
 
 Re: мощность множества
Сообщение05.07.2009, 23:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351
malin в сообщении #226677 писал(а):
мощность множества — это соответствующий ему класс эквивалентности

Это идёт от Фреге и Рассела. Ещё раз: читайте книжки. Этот вопрос подробно исследован в книге Abraham A. Fraenkel. Set Theory and Logic. Но я уверен, что есть и по-русски нечто легко читаемое.

 Профиль  
                  
 
 Re: мощность множества
Сообщение06.07.2009, 09:31 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
malin в сообщении #226677 писал(а):
Согласно определению из Википедии(http://ru.wikipedia.org/wiki/Мощность_множества), два множества называются равномощными, если между ними существует биекция. Существование биекции между множествами есть отношение эквивалентности, а мощность множества — это соответствующий ему класс эквивалентности.
В строгих рамках ZF(C) такое определение мощности множества некорректно -- в том слысле, что мощность непустого множества не существует (или, если угодно, не является множеством). Цитированному определению можно придать смысл, лишь выйдя за рамки ZF(C) -- например, привлекая теорию классов (скажем, NGB) или введя понятие класса как синтаксического расширения языка теории множеств.

Кстати, аналогичная англоязычная статья http://en.wikipedia.org/wiki/Cardinality в этом смысле более аккуратно написана.

 Профиль  
                  
 
 Re: мощность множества
Сообщение06.07.2009, 10:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7058
По предыдущей ссылке можно выйти на ссылку http://en.wikipedia.org/wiki/Equivalence_class , в которой класс эквивалентности трактуется как множество. Правда, там все множества являются подмножествами некоторого всеобъемлющего множества (если я правильно понял статью).
Цитата:
Ведь класс эквивалентности - это тоже множество
. В общем случае это не так. Это класс и для него понятие мощности неопределено.

 Профиль  
                  
 
 Re: мощность множества
Сообщение06.07.2009, 10:48 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
мат-ламер в сообщении #226785 писал(а):
По предыдущей ссылке можно выйти на ссылку http://en.wikipedia.org/wiki/Equivalence_class , в которой класс эквивалентности трактуется как множество. Правда, там все множества являются подмножествами некоторого всеобъемлющего множества (если я правильно понял статью).

Точнее говоря, там все "множества" являются элементами некоторого фиксированного множества. А еще точнее говоря, там рассматривается отношение эквивалентности на множестве, а не, скажем, на классе всех множеств (как это получается в обсуждаемом определении).

Если хочется, чтобы мощность множества была множеством, и не хочется выходить за формальные рамки ZF(C), определение придется изменить. Классическим решением является рассмотрение кардиналов (как неких канонических представителей рассматриваемых классов эквивалентности).

 Профиль  
                  
 
 Re: мощность множества
Сообщение06.07.2009, 13:49 
Заблокирован


19/09/08

754
Увлекающимся теорией множеств, хочу напомнить - Георг Кантор скончался в психиатрической клинике.

 !  AKM:
Ваше сообщение неконструктивно и неуместно. Пожалуйста, воздерживайтесь от подобных замечаний.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 36 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group